第二节数列的极限

教学目的：理解数列极限的概念，为研究微积分作好工具准备

教学重点：收敛数列的性质及运算法则

教学难点：数列极限概念的理解及计算

一、数列极限的概念及定义

本节讨论定义域为自然数集N，值域含于实数集R的函数。其函数只可按照变量的顺序排列为

，，…，，…

因此，有下列定义：

定义设f是定义于N上的一个函数，其函数值按…的顺序排列成一个序列：

，，，…，，…

就成为数列，简单地记作。称为数列的第n项或通项，n为脚标.

例如：

观察上面的几个数列，我们可以发现随着的无限增大，有的数列无限的趋近一个常数，有的数列无限增大，而有的数列则与前两种情况不同.数列的极限就是研究在自变量无限增大这种趋势下,因变量的变化趋势.当（即无限增大）时，如果的的变化趋势由一个确切的“目标”，那么常数就叫做该数列在时的极限.例如：当时，的极限为0，的极限也是0，的极限为2，而与没有极限.

如果数列，当无限增大时，数列的取值能无限接近常数，我们就称是当时的极限，记作

当然，以上的说法仅仅是数列极限的一种定性描述.我们在研究数列极限时，只凭定性描述和观察很难做到准确无误，特别在理论推导中，以直觉作为推理的依据是不可靠的，因此有必要寻求用精确的、定量化的数学语言来刻画数列的极限.我们注意到在数列极限中“”，以及“无限的趋近于”，它主要强调的是“一个过程”以及一种“接近”程度，经过前人的不断总结给出了一下定义.

设为一个数列对于任意给定的正数（不论它多么小），总存在正整数，使得对于时的一切，不等式

都成立，则称常数是数列的极限，或者称数列收敛于，记为

或 .

如果数列没有极限，就说数列是发散的.

为了以后论述的方便, 数列极限的定义，常用逻辑符号来表达：

，使得，有.

定义中极限（是一个常数）及任意给定的正数，它确定了一个领域；总存在正整数，也确定数列中的某一项；只要，就有成立.即说明从以后的所有项，全落入中.

需要指出的是，任意给定的数，一方面由于的任意性，决定了它的取值有无限种的可能，从而可以任意的小，以刻画与的无限逼近. 另一方面是的确定性，它是任意给定的，一旦给出后，它就定了，这样就可以找出（即确定出这一项），使得以后的所有项在中，但是不是唯一的，只要保证存在即可.例如对于某一个

，存在正整数，只要，就有成立，那么此时也有：对于上面的，是大于的确定的正整数（例如），当时，也成立.

为了更直观的说明与之间的关系，看下面例题。

例2-1 用数列极限定义证明。

证因为，

，欲使。只要，即，取（即确定了这一项），则当时，有

所以

在以上证明中，当时，.也就是说从第200项以后，数列的所有项：均满足当时，，的均满足.需要指出，一般越小，则越大，但不是唯一的.例如时，取也行（但则不行，为什么？）。

例1-4 设，证明数列

的极限是0。

证因

令,(由于，故)，

则

所以

要使，只要，即，取，则当时，

有

，

所以

在以上证明中为了取得N的较简单的表达式，应用了二项式定理。如果从通过取对数得，取也可以。在用定义证明极限时，为了得到N的较为简单的表达式，要对进行适当的放大，其主要手法是使，当时，比较容易地解出。

例 2-2 用极限定义证明

证因为

要使，只要，即。取，则对

有

所以

在以上证明中。我们也可以使。但若使，那N的表达式就过于繁琐。由于极限定义中的N不唯一，证明时我们力求使N更简单一些。需要指出：一般情况下，用定义只能验证某数是否为某数列的极限，不能用它来求数列的极限，但通过数列的定义可以证明有关的运算法则及定理，再通过它们来求极限。下面我们介绍极限的运算法则和求极限的一些方法。

二、收敛数列的性质及运算法则

对于一个数列，如何判断它是否收敛（即极限是否存在）？如果收敛，又怎样求出它的极限？这是极限理论中至关重要的两个基本问题，为此我们必须讨论数列极限的性质及运算法则。

定理设，则

（1）

（2）

（3）

（4）（由此可得）

（5）

证

（1）仅就证之。

由知：

因为

所以

，有

注证明中出现了主要是为了体现对同一标准“速度”的不同。例如。当时，，取

，取。至于，中用是为了最后结论与定义一致。

（2）、（3）在后面加以证明，（4）、（5）可直接用极限定义证明（读者自证）。

定理若数列有界，且，则

证由有界知，有，

又由，可知，，有

因为（当时）

所以，，有，

也即.

读者也许注意到了，对于一个具体数列我们用定义证明其极限是某个数时，项数N是一个具体的表达式（表达式不惟一）。而对于抽象的数列极限（如以上的法则等）证明,项数N是通过已知数列极限中所得的项数确定的，它们虽然不尽相同，但是目的是为了保证项数N的存在性。用定义证明一些命题，初学者有一定的难度，下面再介绍夹逼定理。通过该定理可以证明一些数列的收敛性，相对而言，比用定义要简单一些。