教学目的:理解导数的概念及几何意义会求平面曲线的切线和法线,了解导数的
物理意义,理解函数连续性与可导性之间的关系
教学重点:导数的概念,导数的几何意义
教学难点:导数定义的理解,不同形式的掌握
教学内容:
1.切线问题
圆的切线可定义为“与曲线只有一个交点的直线”.但是对于其它曲线,用“与曲线只有一个交点的直线”作为切线的定义就不一定合适.例如,对于抛物线,在原点处两个坐标轴都符合上述定义,但实际上只有轴是该抛物线在点处的切线.下面给出切线的定义.
设有曲线及上的一点(图2-1),在点外另取上一点,作割线.当点沿曲线趋于点时,如果割线绕点旋转而趋于极限位置,直线就称为曲线在点处的切线.这里极限位置的含义是:只要弦长趋于零,也趋于零.
现在就曲线为函数的图形的情形来讨论切线问题.设是曲线上的一个点(图2-2),则.根据上述定义要定出曲线在点处的切线,只要定出切线的斜率就行了.为此,在点外另取上的一点,于是割线的斜率为
,
其中为割线的倾角.当点沿曲线趋于点时,.如果当时,上式的极限存在,设为,即
存在,则此极限是割线斜率的极限,也就是切线的斜率.这里,其中是切线的倾角.于是,通过点且以为斜率的直线便是曲线在点处的切线.事实上,由以及时,可见时(这时),.因此直线确为曲线在点处的切线.
图2-2 图2-1
2.质点沿直线运动的速度
设某点沿直线运动.在直线上引入原点和单位点(即表示实数1的点),使直线成为数轴.此外,再取定一个时刻作为测量时间的零点.设动点于时刻在直线上的位置的坐标为(简称位置).这样,运动完全由某个函数
所确定.这函数对运动过程中所出现的值有定义,称为位置函数.在最简单的情形,该动点所经过的路程与所花的时间成正比.就是说,无论取哪一段时间间隔,比值
①
经过的路程
所花的时间
总是相同的.这个比值就称为该动点的速度,并说该点作匀速运动.如果运动不是匀速的,那么在运动的不同时间间隔内,比值①会有不同的值.这样,把比值①笼统地称为该动点的速度就不合适了,而需要按不同时刻来考虑.那么,这种非匀速运动的动点在某一时刻(设为)的速度应如何理解而又如何求得呢?
首先取从时刻到这样一个时间间隔,在这段时间内,动点从位置移动到.这时由①式算得的比值
②
可认为是动点在上述时间间隔内的平均速度.如果时间间隔选得较短,这个比值②在实践中也可用来说明动点在时刻的速度.但对于动点在时刻的速度的精确概念来说,这样做是不够的,而更确切地应当这样:令,取②式的极限,如果这个极限存在,设为,即,这时就把这个极限值称为动点在时刻的(瞬时)速度.
1.函数在一点处的导数与导函数
定义 设函数在点的某个邻域内有定义,当自变量在处取得增量(点仍在该邻域内)时,相应地函数取得增量;如果与之比当时的极限存在,则称函数在点处可导,并称这个极限为函数在点处的导数,记为,即
③
也可记作,或.
函数在点处可导有时也说成在点具有导数或导数存在.
导数的定义式③也可取不同的形式,常见的有
④
和
⑤
2.求导举例
例 1 求函数(为常数)的导数.
解:,即.这就是说,常数的导数等于零.
例 2 求函数(为正整数)在处的导数.
解:
把以上结果中的换成得,即.
更一般地,对于幂函数(为常数),有.这就是幂函数的导数公式.利用这公式,可以很方便地求出幂函数的导数,例如:
当时,()的导数为
,即
当时,()的导数为
,即
例 3 求函数的导数
解:
即
这就是说,正弦函数的导数是余弦函数.
用类似的方法,可求得,这就是说,余弦函数的导数是负的正弦函数.
例 4 求函数()的导数.
解:
即
这就是指数函数的导数公式.特殊地,当时,因,故有
上式表明,以为底的指数函数的导数就是它自己,这是以为底的指数函数的一个重要特性.
例 5
解:
即
3、单侧导数
根据函数在点处的导数的定义,是一个极限,而极限存在的充分必要条件是左、右极限都存在且相等,因此存在即在点处可导的充分必要条件是左、右极限
及
都存在且相等.这两个极限分别称为函数在点处的左导数和右导数,记作及,即
,
现在可以说,函数在点处可导的充分必要条件是左导数和右导数都存在且相等.
如果函数在开区间内可导,且及都存在,就说在闭区间上可导.
例 6
解:
=1
是曲线在点的切线斜率;
路程对时间的导数是时刻的速度;
在抽象情况下,表示在点变化的快慢
定理 如果函数在点处可导,则函数在该点必连续.
证:
,
,
=0
在点处连续是可导的必要条件,而不是充分条件.
例 7 讨论在点连续性与可导性
解:
在不连续,即在不可导.
例 8 讨论在点连续性与可导性
解:
在可导,当然在点连续.
例 9 讨论
解:
在连续
在不可导.