第二节 函数的求导法则

教学目的：掌握导数的四则运算法则，掌握基本初等函数的求导公式，会求反函数的导数

教学重点：导数的四则运算法则，反函数求导方法

教学难点：反函数求导

教学内容：

一、 函数的和、差、积、商的求导法则

定理 函数在点处可导，则

（1）在点处可导，且

（2）在点处可导，且

为常数

（3）在点处可导，且

（4）在点处可导，且

证 (1)略.

（2）

(3) 设

例 1

解：

例 2

解

例 3 ，求.

解：

，

即

这就是正切函数的导数公式.

例 4 ，求.

解：，

即

这就是正割函数的导数公式.

用类似方法，还可求得余切函数及余割函数的导数公式：

， .

二、反函数的求导法则

定理

即 反函数的导数等于直接函数导数的倒数.

证：

于是有

因为

所以

即

例 5

解：

同理可得

例 6

解：

特别地

三、复合函数的导数

定理 如果在点可导，而在点可导，则复合函数在点可导，且其导数为

证 由于在点可导，因此

存在，于是根据极限与无穷小的关系有

其中是时的无穷小.上式中，用乘上式两边，得

当时，规定，这时因，

而右端亦为零，故对也成立.用除两边，得

于是

根据函数在某点可导必在该点连续的性质知道，当时，，从而可以推知

又因在点可导，有

故

即

证毕.

复合函数的求导法则可以推广到多个中间变量的情形.我们以两个中间变量为例，设，，，则

，而

故复合函数的导数为

当然，这里假定上式右端所出现的导数在相应处都存在.

例 7 ，求.

解：.

例 8 ，求.

解：.

例 9 ，求.

解：所给函数可分解为，，.因，，，故

不写出中间变量，此例可这样写：

四、常用的导数公式

（1）， （2），

（3）， （4），

（5）， （6），

（7）， （8），

（9）， （10），

（11）， （12），

（13）， （14），

（15）， （16）.

五、基本的导数运算法则

（1）函数的和、差、积、商的求导法则

设，都可导，则

，

（是常数），

，

.

（2）复合函数的求导法则

设，而且及都可导，则复合函数的导数为

或

（3）反函数求导法则

若存在且不为零，则