第三节 高阶导数

教学目的：熟练初等函数的求导方法，了解高阶导数的概念，会求简单的n阶导数

教学重点：高阶导数的求法

教学难点：高阶导数的归纳方法

教学内容：

变速直线运动的加速度.

一般地，函数的导数仍然是的函数.我们把的导数叫做函数的二阶导数，记作或，即

或

相应地，把的导数叫做函数的一阶导数.

类似地，二阶导数的导数，叫做三阶导数，三阶导数的导数叫做四阶导数，…，一般地，阶导数的导数叫做阶导数，分别记作

或

函数具有阶导数，也常说成函数为阶可导.如果函数在点处具有阶导数，那么在点的某一邻域内必定具有一切低于阶的导数.二阶及二阶以上的导数统称高阶导数.

由此可见，求高阶导数就是多次接连地求导数.所以，仍可应用前面学过的求导方法来计算高阶导数.

例1 求指数函数的n阶导数.

解：，，，.一般地，可得，

即

例2 求正弦与余弦函数的阶导数.

解：，

，

，

，

，

一般地，可得

即

用类似方法，可得

例3 求对数函数的阶导数.

解：，，，，，

一般地，可得

即

通常规定，所以这个公式当时也成立.

例4求幂函数的阶导数公式.

解：设（是任意常数），那么

，

，

，

，

一般地，可得

即

当时，得到

而

如果函数及都在点处具有阶导数，那么显然及也在点处具有阶导数，且

但乘积的阶导数并不如此简单.由首先得出

用数学归纳法可以证明

上式为莱布尼茨（Leibniz）公式.这公式可以这样记忆：把按二项式定理展开写成

即

然后把次幂换成阶导数（零阶导数理解为函数本身），再把左端的换成，这样就得到莱布尼茨公式

例5 ，求.

解：设，，则，

，，，代入莱布尼茨公式，得