第二节 偏导数

 

教学目的：学习偏导数的定义，学会求多元函数的偏导数和多阶偏导数。

教学重点：偏导数的定义，判断二元函数偏导数的存在性，计算二元、多元函数的偏导数。

教学难点：判断二元函数偏导数的存在性，计算多元函数的偏导数。

教学内容：

一、     偏导数的定义

在研究一元函数时，我们从研究函数的变化率引入了导数概念.对于多元函数同样需要讨论它的变化率.但多元函数的自变量不止一个，因变量与自变量的关系要比一元函数复杂得多.在这一节里，我们首先考虑多元函数关于其中一个自变量的变化率.以二元函数为例，如果只有自变量变化，而自变量 固定（即看作常量），这时它就是 的一元函数，这函数对的导数，就称为二元函数对于的偏导数，即有如下定义：

定义 设函数 =在点的某一邻域内有定义，当固定在而在处有增量时，相应地函数有增量

               ,

如果                                                            (1)

存在，则称此极限为函数在点处对的偏导数，记作

       ,  ,   或  

例如，极限（1）可以表示为

                .                             (2)

类似地，函数在点处对的偏导数定义为

                                                                 (3)

记作       ,  ,   或     

如果函数在区域D内每一点处对的偏导数都存在，那么这个偏导数就是的函数，它就称为函数对自变量的偏导数，记作

,    ,   或      

类似地，可以定义函数对自变量的偏导数，记作

,   ,     或     

由偏导数的概念可知，在点处对处对的偏导数显然就是偏导函数 在点处的函数值；就是偏导函数在点 处的函数值.就象一元函数的导函数一样，以后在不至于混淆的地方也把偏导函数简称为偏导数.

至于实际求的偏导数，并不需要用新的方法，因为这里只有一个自变量在变动，另一个自变量是看作固定的，所以仍就是一元函数的微分法问题.求 时，只要把暂时看作常量而对求导数；求 时，则只要把 暂时看作常量而对求导数.

偏导数的概念还可以推广到二元以上的函数.例如三元函数 =() 在点() 处对的偏导数定义为

其中 ()是函数 的定义域的内点.它们的求法也仍旧是一元函数的微分法问题.

例8-9 求 在点(1, 2)处的偏导数.

解  把看作常量，得

把 看作常量，得

将 (1, 2)代入上面的结果，就得

，

例8-10 求的偏导数.

解   ,

例8-11  设,求证：

                 +

证  因为    ,  ,

所以  +=+

例8-12  求 的偏导数.

解  把 和都看作常量，得

              ==

由于所给函数关于自变量的对称性，所以

= , =.

二、     偏导数的几何意义

二元函数在点的两个偏导数有明显的几何意义：设为曲面上的一点，过作平面，截此曲面得一曲线，此曲线在平面上的方程为，则导数,  即偏导数,就是这曲线在点处的切线对轴的斜率（见图8-6）.同样，偏导数的几何意义是曲面被平面所截得的曲线在点处的切线对轴的斜率.

我们已经知道，如果一元函数在某点具有导数，则它在该点必定连续.但对于多元函数来说，即使各偏导数在某点都存在，也不能保证函数在该点连续.这是因为各偏导数存在只能保证点沿着平行于坐标轴的方向趋于时，函数值趋于,但不能保证点按任何方式趋于时，函数值都趋于 .例如，函数

在点（0，0）对的偏导数为

同样有

但是我们在第一节中已经知道这函数在点（0，0）并不连续.

三、       高阶偏导数

设函数在区域内具有偏导数

   ,   ,

那么在D内 、都是的函数.如果这两个函数的偏导数也存在，则称它们是函数的二阶偏导数.按照对变量求导次序的不同有下列四个二阶偏导数：

        = ,        =,

        = ,   =

其中第二、三个偏导数称为混合偏导数.同样可得三阶、四阶、以及阶偏导数.

二阶及阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.

例8-13  设，求、、、 及 .

解      = ,         = ；

     =  ,                           = ；

      =  ,        = ；

      = 6

我们看到上例中两个二阶混合偏导数相等，即 = 这不是偶然的.事实上，我们有下述定理.

定理 如果函数的两个二阶混合偏导数 及 在区域D内连续，那么在该区域内这两个二阶混合偏导数必相等.

换句话说，二阶混合偏导数在连续的条件下与求导的次序无关.这定理的证明从略.

对于二元以上的函数，我们也可以类似地定义高阶偏导数.而且高阶混合偏导数在偏导数连续的条件下也与求导的次序无关.

例8-14     验证函数 满足方程

                                      +=0 .

   证  因为,

所以          =,   =,

==

==

因此           

+=+=0

 

定理  如果函数的两个二阶混合偏导数 及 在区域D内连续，那么在该区域内这两个二阶混合偏导数必相等.

换句话说，二阶混合偏导数在连续的条件下与求导的次序无关.这定理的证明从略.

对于二元以上的函数，我们也可以类似地定义高阶偏导数.而且高阶混合偏导数在偏导数连续的条件下也与求导的次序无关.

例8-15    验证函数 满足方程

                                      +=0 .

   证  因为,

所以          =,   =,

                      ==,

                      ==

因此            +=+=0.

小结：本节在一元函数微分学的基础上，讨论多元函数（以二元函数为重点）偏导数的定义及存在条件和求法，这是多元函数微分学的基础.

作业：        

１．求下列函数的偏导数：

（１）；　　   （２）；

（３）；        （４）；

（５）；               （６）；

（７）；                       （８）.