第一节 对弧长的曲线积分
教学目的：了解对弧长曲线积分的概念和性质，理解和掌握对弧长曲线积分的计算法和应用
教学重点：弧长曲线积分的计算
教学难点：弧长曲线积分的计算
教学内容：
一、弧长的曲线积分的概念
1． 曲线形构件的质量问题
设一构件占
面内一段曲线弧
，端点为
，线密度
连续
求构件质量
.
解：（1）将分割
（2）
，
（3）
（4）
2定义 为面内的一条光滑曲线弧，
在上有界，用
将分成
小段
，任取一点
作和
，令，当
时，
存在，称此极限值为在上对弧长的曲线积分（第一类曲线积分）记为
注意：（1）若曲线封闭，积分号
（2）若连续，则
存在，其结果为一常数.
（3）几何意义=1，则=L（L为弧长）
（4）物理意义
M=
（5）此定义可推广到空间曲线
=
（6）将平面薄片重心、转动惯量推广到曲线弧上
重心：
，
，
.
转动惯量：
， 
， 
（7）若规定L的方向是由A指向B，由B指向A为负方向，但与的方向无关
3．对弧长曲线积分的性质
a：设
，则=
+
b：
=
c：
=
.
二 对弧长曲线积分的计算
定理：设在弧上有定义且连续，方程
（
），
在
上具有一阶连续导数，且
，则曲线积分存在，且=
.
说明：从定理可以看出
（1） 计算时将参数式代入，
，在上计算定积分.
（2） 注意：下限
一定要小于上限
，< （∵恒大于零，∴ 
>0）
（3）
：
, 
时，=
同理：
，
时，=
(4) 空间曲线
：
，
，
，
=
例1．计算曲线积分
，其中是第一象限内从点
到点
的单位圆弧
解 (Ⅰ) ：
∴=
(Ⅱ) 若是ⅠⅣ象限从到
的单位圆弧
（1）=
+
=+
=
+
=
(2) 若：
(
) 
=
=
+
(3) ：
，
=
=
例2．计算
：
所围成的边界
解 
，在
上 
=
在
上
=
在
上 
=
∴ =
+
例3．计算
：
解 
：
∴=
=
=
或
=
∴=
=
=
例4．
： 
围成区域的整个边界
解 =
交点
=
+
=
+
=
+
=
+
小结 1.对弧长曲线积分的概念和性质，2.对弧长曲线积分的计算法和应用
作业
P193 1 P194 2、3