第六节 高斯公式 通量与散度

教学目的：理解和掌握高斯公式及应用，了解通量与散度的概念

教学重点：高斯公式

教学难点：高斯公式的应用

教学内容：

一. Gauss公式

定理，设空间闭区域是有分片光滑的闭曲面所围成的，函数，，在上具有一阶连续偏导数，则=

=

其中是的整个边界曲面的外侧，是上点处的法向量的方向余弦，称之为高斯公式.

证明：设在面上证明：设在面上的投影域，且过内部且平行于轴的直线与的边界曲面的交点恰好两个，则由组成，取下侧，取上侧，，是以的边界曲线为准线，母线平行于轴的柱面的一部分，取外侧，

类似：若过内部且平行于x轴，y 轴的直线与的边界曲面的交点也且由两个时有

(1)+(2)+(3)即可证得高斯公式

若不满足上述条件，可添加辅助面将其分成符号条件的若干块，且在辅助面两侧积分之和为零

例1

的外侧

解：令

例2 计算的上侧

解：添上与构成封闭曲面

令

而

原式=

二. 通量与散度

高斯公式：

右端物理意义：为单位时间内（流体经过流向指定侧的流体的质量）离开闭域的流体的总质量。

流体不可压缩且流动是稳定的，有流体离开的同时，其部必须有产生流体的“源头”产生同样多的流体来进行补充，故左端可解释为分布在内的源头在单位时间内所产生的流体的总质量

高斯公式可用向量形式表示：

同除闭区域的体积:

左端为内的源头在单位时间、单位体积内所产生流体质量的平均值，应用中值定理得：，令缩为一点取极限得，称为在点M的散度，记，即，

散度可看成稳定流动的不可压缩流体在点M的源头强度——单位时间内、单位体积所产生的流质的质量.如果为负时，表示点M处流体在消失

一般若向量场，有一阶连续偏导数，为场内一片有向曲面，为上点处的单位法向量，则称为向量场通过曲面向着指定侧的通量（流量），而叫做向量场的散度，即

高斯公式又一形式，为的边界曲面，

是向量在曲面的外侧法向量上的投影。

例3 试计算，为曲线绕轴旋转所成的旋转曲面，其法矢量与轴正向夹角为钝角。

解 方程：添上平面的前侧，

构成封闭曲面外侧，令，

图10-6-2

练习:

1.计算曲线绕轴旋转一周所成曲面的外侧

2.设有连续的一阶导数，计算

所围立体的外侧。

小结：

1．高斯公式

2．通量和散度