2.1 导数的概念

（魏宗田 郭乔）

l 教学目标与要求

理解导数的概念，掌握导数的几何意义，会按照定义求简单函数的导数。

l 教学重点与难点

教学重点：建立导数的概念。

教学难点：理解导数的本质---函数在某点的变化率。

l 教学方法与建议

导数的思想最初是由法国数学家Fermat为解决极大、极小问题而引入的。但导数作为微分学中一个重要概念，却是英国数学家Newton和的德国数学家Leibniz分别在研究力学与几何学过程中建立的，其中凝聚着众多数学家的心血与“集体智慧”，是高等数学中最重要的概念之一，有着极其广泛的应用。导数是概括了各种各样的变化率而得出来的更一般性更抽象的概念，它撇开了自变量和因变量所代表的几何或物理等方面的特定含义，纯粹从数量方面来刻画函数在某一点的变化率的本质。对于某一点函数的变化率，即导数，我们先考虑在此点附近函数的平均变化率，再取极限而得出。这个过程所蕴含的思想，力求通过典型的实例，再尽量辅之以图形，使学生充分理解。总之导数概念的引出不能太突然，太机械，须作必要的铺垫。

l 教学过程设计

1. 问题提出与定义

考虑函数随自变量变化而变化的趋势，是关于函数的最一般问题。如一次函数，当时，在整个定义域内的增大而增大，随的减小而减小；又如二次函数，当且

时，随的增大而增大。这是函数的整体性质。实际中我们常常需要考察函数在某点“附近”，即局部的这一性质。请看下面的问题。

例1 瞬时速度—-一 一个物理问题

设一质点的运动方程为，则从时刻到时刻的平均速度是

记，则

即位移改变量和时间改变量之比。当固定，或者时，我们把时刻的瞬时速度定义为（假设极限存在）

例2 切线—— 一个数学问题

如图，设有一曲线其方程为上一点。在曲线上任取异于的一点，从几何的观点说，当沿着无限靠近时，把割线的极限定义为在点处的切线。换一种方式说，就是当时，割线的斜率

的极限定义为在处的切线斜率，即

抛开上述问题的具体背景，将其共同的本质提炼即得导数的概念。

定义1 导数 设函数，的某个邻域内有定义，如果

存在，则称在处可导，并把该极限称为在处的导数，记为

若记自变量改变量为，相应的函数改变量为

，

则函数在的导数又可表示为另一常见形式

若上式极限不存在，则称函数在不可导；若在区间内的每一点都可导，则称函数在区间内可导。这时，对任意的，都对应着唯一的一个导数值

我们把这个新的函数就叫做在内的导函数，记作

例如对函数，有

这表明在不同的点，函数的变化快慢程度不同，这与图象的直观是一致的。

定义2（单侧导数）设函数在的某个右邻域内有定义，若极限

存在，则称此极限为函数在的右导数，记作.

设函数在的某个左邻域内有定义，若极限

存在，则称此极限为函数在的左导数，记作。

2. 求导数举例

例1 求函数为常数的导数。

例2 求函数的导数。

例3 求函数在处的导数（不可导例子）。

3.导数的本质与学习导数的意义

由定义可知，函数在某一点的导数，实质上就是函数在这一点的变化率，它是用来研究函数局部性态的。这是因为定义

本身蕴含了函数在点的本质属性。为了说明这个事实，我们首先从比数

说起。该比数对研究函数在点的性态有什么意义呢？我们知道，两个量与之比数是一个抽象的数，称为率。在数学中有很多的率，例如圆周率，离心率，斜率，曲率等。在社会科学中，率就更多了，如增长率，出生率，利率等等。率这个抽象的数给出了两个量与之间的倍数关系，它能刻画事物内在的本质属性。例如椭圆

的离心率

描绘了其扁圆程度，愈大，椭圆愈扁，反之亦然。由此可见，椭圆的离心率对认识椭圆的几何性态是十分必要的。这就是几何性质数量化，是“以数表性”的实例。同样，导数这个“率”也能以数表性（函数的性态），而应用更广。

设函数在点可导，任取一点，有自变量的改变量，相应地有函数的改变量，两者之比数为

用分析的语言说，是函数在附近的平均变化率；用几何的语言说，是曲线过点与点的割线的斜率。当很小时，平均变化率能够近似地描绘在点附近的性态。例如，当

，

即同号时，函数在严格增加，且愈大，函数增加愈快；当

即异号时，函数在严格减少，且的绝对值愈大，函数减少愈快。

由此可见，函数在点附近的性态与平均变化率有密切关系。因此，研究函数在点的性态必须首先构造在的平均变化率

。

其次，研究在点的性态，仅有还不够，甚至很不够。因为当是很小的非零常数时，只是近似地描绘了在点的性态，它还不能精确地描绘在点的性态。不难看到，当愈接近于时，平均变化率就愈能精确地描绘在点的性态。因此只有当无限接近于时，的极限，即导数

才能真实、精确地描绘函数在点的性态。

有了导数，就为研究函数的性态添加了新方法，从而开辟了研究函数的新领域，因此，导数在微积分学中有着十分重要的地位。