9.2 平面薄片的质心

（李顺波 孙俊萍）

l 教学目标与要求

利用二重积分解决实际问题，求解平面薄片的质心

l 教学重点与难点

教学重点：用微元法解决实际问题的方法

教学难点：微元法的思想方法

l 教学方法与建议

我们从曲顶柱体的体积、平面薄片的质量的研究抽象出二重积分的定义；本节我们利用二重积分来解决这些物理、几何和工程技术中的实际问题。质点系的质心在中学物理中未必讲过，本节从质点系引入，利用微元法得出平面薄片的质心公式，并解决这类几和问题.

l 教学过程设计

1 . 问题提出

从《大学物理》我们学习了在质点系中研究质心(质量之心)的方法。设在平面上有n个质点，他们分别位于点

处，质量分别为.从力学知道，该质点系的质量中心的坐标为

其中

为该质点系的总质量

分别为该质点系对轴和轴的静矩.

积分的思想就是分割，求和，取极限，如何应用质点系的质心来求平面薄片的质心呢？

2 ．平面薄片的质心

方法：利用微元法，i.部分量的近似值作为整体量的元素。ii. 以部分量的近似值为被积表达式在被分区域D上积分得整体量。

设有一平面薄片，占有面上的闭区域，在点处的面密度为，假定在上连续。如何找该薄片的质心的坐标呢？

在闭区域上任取直径很小的闭区域（也记为闭区域的面积），是这个小闭区域上的一点，由于的直径很小，且在上连续，因此薄片中相应于的部分的质量近似等于，用极限的思想这部分质量可近似看作集中在点上，所以可利用质点系的方法写出静矩元素

以这些元素为被积表达式，在闭区域上积分，得

由前面的一节知，薄片的质量为

所以，薄片的质心的坐标为

注意：如果薄片质量分布均匀，即面密度为常量，则公式中的可提到积分记号外面并从分子，分母中约去，这样可得到均匀薄片的质心的坐标为

其中为闭区域的面积.

3.举例

例2 求位于两圆和之间的均匀薄片的质心.

解 因为闭区域为均匀薄片且关于y轴对称（如图所示），所以=0. 现在只要求出即可.

由于闭区域位于半径为1与半径为3的两圆之间，所以闭区域的面积等于这两圆的面积之差，即A＝.在利用极坐标计算积分，得

因此，质心纵坐标是