高等数学Ⅰ课程教学大纲

英文名称：Advanced MathematicsⅠ

课程编号：110101

课程类型：通修

学时：184

学分：11.5

适用对象：土木、环工、管理、冶金、材料、信控、机械、物化等各专业本科生

先修课程：初等数学

建议教材：《高等数学》（第6版），同济大学应用数学系编，高等教育出版社，2007

参考书：《高等数学内容提要及解题指导》（理工类），潘鼎坤编著，

西安交大出版社，2004

《高等数学习题课指导》,徐裕生等编，陕西科学技术出版社，2002

一、课程的性质、目的和任务

1．课程性质

高等数学是高等工科院校一门重要的基础课。开设这门课是为培养四化建设人才服务的，是要全面系统地介绍高等教学（主要是微积分）的基本原理，基本方法及其在几何、物理中的应用，为学生学习后继课程奠定必要而良好的数学基础。

2．课程目的和任务

通过本课程的各个教学环节，努力培训学生的抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力和基本运算能力，使他们受到运用数学方法分析和解决实际问题的初步训练，从而自觉地运用数学这一有力工具为学习后继课程，为科学技术工作，为改造自然而服务。

教学内容：函数的概念及表示法；函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性；反函数、复合函数和隐函数；基本初等函数的性质及其图形；初等函数；简单应用问题的函数关系的建立。数列极限的定义、函数极限的定义和函数的左、右极限；无穷小；无穷大；无穷小的比较；极限的四则运算法则；极限存在的两个准则；两个重要极限。函数连续的概念；函数间断点的类型；初等函数的连续性；闭区间上连续函数的性质（最大值、最小值定理和介值定理）。

教学要求：

1．理解函数的概念；了解函数的单调性、周期性和奇偶性；了解反函数和复合函数的概念；熟悉基本初等函数的性质及其图形；能列出简单实际问题中的函数关系。

2．了解极限的定义（对于给出求或不作过高要求），并能在学习过程中逐步加深对极限思想的理解。

3．掌握极限四则运算法则；了解两个极限存在准则（夹逼准则和单调有界准则）；会用两个重要极限求极限；了解无穷小、无穷大的概念；掌握无穷小的比较。

4．理解函数在一点连续的概念，会判断间断点的类型；了解初等函数的连续性；知道在闭区间上连续函数的性质（介值定理和最值定理）。

重点：函数概念；极限概念及运算；连续性概念；极限的四则运算法则；初等函数连续性的结论。

难点：函数的概念；反三角函数的主值；复合函数的分解；极限的分析定义；非初等函数连续性的判定；极限四则运算法则的运用；函数关系式的建立。

深度和广度：分段函数在分段点的连续概念，闭区间连续函数的性质。

第二章导数与微分

教学内容：导数和微分的概念；导数的几何意义和物理意义；函数的可导性与连续性之间的关系；平面曲线的切线和法线及其方程；基本初等函数的导数；导数和微分的四则运算；反函数、复合函数、参数式所确定的函数和隐函数的微分法；高阶导数的概念；某些简单函数的n阶导数；一阶微分形式不变性。

教学要求：

1．理解导数和微分的概念；了解导数的几何意义及函数的可导性与连续性之间的关系；能用导数描述一些物理量。

2．熟悉导数和微分的运算法则（包括微分形式不变性）和导数的基本公式；了解高阶导数的概念；能熟练地求初等函数的一阶、二阶导数。

3．掌握隐函数和参数方程所确定的函数的一阶、二阶导数的求法。

重点：导数作为变化率的概念；微分作为函数增量的线性主部的概念；基本初等函数的求导公式；函数的和、差、积、商的求导法则；复合函数的求导法则。

难点：导数作为变化率的理解；复合函数求导法则的运用；一阶微分形式不变性的理解及应用；求隐函数和由参数方程所确定的函数二阶导数。

深度和广度：掌握导数和微分的概念及左、右导数的概念。

第三章中值定理与导数的应用

教学内容：罗尔（Rolle）定理；拉格朗日（Lagrange）中值定理；柯西（Cauchy）中值定理；泰勒（Taylor）定理；罗必塔（L’Hospital）法则；函数的极值概念及其求法；函数增减性和函数图形的凹凸性的判定；函数图形的拐点及其求法；描绘函数的图形（包括水平、铅直和斜渐近线）；函数最大值和最小值的求法及简单应用；弧微分；曲率的概念及计算；曲率半径。

教学要求：

1．理解罗尔（Rolle）定理和拉格朗日（Lagrange）定理。了解柯西（Cauchy）定理和泰勒（Taylor）定理；会应用拉格朗日定理。

2．理解函数的极值概念；掌握求函数的极值，判断函数的增减性与函数图形的凹性，求函数图形的拐点等方法。能描绘函数的图形（包括水平和铅直渐近线）；会解较简单的最大值和最小值的应用问题。

3．掌握罗必塔法则。

4．知道曲率的概念，并会计算曲率。

重点：拉格朗日中值定理；罗比达法则；最大、最小值问题；函数图形的描绘。

难点：拉格朗日中值定理证明中辅助函数的引入；微分中值定理的应用；泰勒公式的意义；正确熟练的运用罗比达法则；最值的应用问题。

深度和广度：中值定理的应用；等式、不等式的证明。

第四章不定积分

教学内容：原函数和不定积分的概念；不定积分的基本性质；基本积分公式；不定积分的换元积分法和分部积分法；有理函数、三角函数的有理式和简单无理函数的积分；

教学要求：

1．理解不定积分的概念及性质；熟悉不定积分的基本公式；

2．熟练掌握不定积分的换元法和分部积分法；

3．掌握较简单的有理函数的积分。

重点：不定积分概念；第一类换元法；分部积分法；有理函数的积分。

难点：不定积分概念；第一类换元法；分部积分法。

深度和广度：不定积分的几何意义，凑微分法。

第五章定积分

教学内容：定积分的概念和基本性质；积分中值定理；变上限定积分及其导数；牛顿-莱布尼兹（Newton-Leibniz）公式；定积分的换元积分法和分部积分法；广义积分的概念及计算

教学要求：

1．理解定积分的概念及性质；熟悉定积分的换元法和分部积分法。

2．理解变上限的定积分作为其上限的函数及其求导定理；熟悉牛顿莱布尼兹公式。

3．了解广义积分的概念。

重点：定积分定义；定积分换元法与分部积分法；牛顿---莱布尼兹公式。

难点：定积分概念的理解；建立积分上限函数的概念；定积分换元法的运用；被积函数有无穷型间断点的广义积分的识别。

深度和广度：熟悉变上限的定积分的应用，定积分换元法

第六章定积分的应用

教学内容：定积分的应用（平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及其侧面积、平行截面面积为已知的立体体积、变力作功和引力等）

教学要求：

1．熟练掌握用定积分表达一些几何量（如面积、体积和弧长等）的方法；

2．了解如何用定积分表达一些物理量（如功）。

重点：定积分的几何应用——平面图形的面积，旋转体体积，平面曲线的弧长，定积分的物理应用——变力作功，水压力。

难点：定积分元素法。

深度和广度：物理应用中变力所作的功。

第七章微分方程

教学内容：常微分方程的概念；微分方程的解、通解、初始条件和特解；变量可分离的方程；齐次方程；一阶线性方程；伯努利（Bernoulli）方程；全微分方程；用简单的变量代换求解方程；可降阶的高阶微分方程；线性微分方程解的结构；二阶常系数非齐次线性微分方程；高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程；自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数以及它们的和与乘积的二阶常系数非齐次线性微分方程；欧拉（Euler）方程；微分方程的幂级数解法；用微分方程解简单的几何和物理问题

教学要求：

1．了解微分方程、解、通解、初始条件和特解等概念．

2．会识别下列几种一阶微分方程：变量可分离的方程、齐次方程、一阶线性方程、伯努利（Bernoulli）方程和全微分方程。

3．熟练掌握变量可分离的方程及一阶线性方程的解法；会解齐次方程和伯努利方程，从中领会用变量代换求解方程的思想；会解较简单的全微分方程。

4．知道几种特殊的可降阶高阶方程的降阶法。

5．了解二阶线性微分方程解的结构；熟练掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法。

6．掌握自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数以及它们的和与乘积的二阶常系数非齐次线性微分方程的解法。

7．会用微分方程解一些简单的几何和物理问题．

重点：微分方程的解和初始条件；可分离变量的一阶微分方程，一、二阶线性微分方程的解法。

难点：微分方程的建立。

深度和广度：微分方程的应用，包括几何及物理两方面。

第八章空间解析几何与向量代数

教学内容：向量的概念；向量的线性运算；向量的数量积和向量积的概念及运算；两向量垂直和平行的条件；两向量的夹角；向量的坐标表达式及其运算；单位向量；方向数与方向余弦；曲面方程和空间曲线方程的概念；平面方程和直线方程及其求法；平面与平面、平面与直线、直线与直线的平行、垂直的条件和夹角；点到平面的距离；球面；母线平行于坐标轴的柱面；旋转轴为坐标轴的旋转曲面的方程；常用的二次曲面的标准方程及其图形；空间曲线的参数方程和一般方程；空间曲线在坐标面上的投影曲线的方程。

教学要求：

1．理解向量的概念；掌握向量的运算（线性运算、点乘法、叉乘法）；

2．掌握两个向量夹角的求法与垂直、平行的条件．

3．熟悉单位向量、方向余弦及向量的坐标表达式，熟练掌握用坐标表达式进行向量的运算。

4．熟悉平面方程和直线方程及其求法。

5．理解曲面方程的概念；掌握常用二次曲面的方程及其图形；掌握以坐标轴为旋转轴的旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程。

6．知道空间曲线的参数方程和一般方程．

重点：向量概念；向量坐标；向量的数量积与向量积；向量平行、垂直的条件；两向量的夹角；图形的方程与方程的图形的概念；直线和平面方程的建立；球面方程；柱面方程；旋转曲面；椭球面；椭圆抛物面。

难点：向量积的概念；空间曲线在坐标面上的投影；用截痕法研究二次曲面。

深度和广度：向量的数量积与向量积；空间曲线在坐标面上的投影；

第九章多元函数微分法及其应用

教学内容：多元函数的概念；二元函数的极限和连续的概念；有界闭域上连续函数的性质；偏导数；全微分的概念；全微分存在的必要条件和充分条件；全微分在近似计算中的应用；复合函数、隐函数的求导法；二阶偏导数；方向导数和梯度的概念及计算；空间曲线的切线及法平面方程；曲面的切平面及法线方程；多元函数的极值、条件极值的概念；极值的求法；拉格朗日乘数法；多元函数的最大值和最小值及其简单应用．

教学要求：

1．理解多元函数的概念。知道二元函数的极限、连续性等概念，以及有界闭域上连续函数的性质．

2．理解偏导数、全微分等概念；了解全微分存在的必要条件和充分条件．

3．了解方向导数与梯度的概念，并掌握它们的计算方法。

4．熟练掌握复合函数的求导法；会求二阶偏导数；会求由一个方程所确定的隐函数的偏导数．

5．了解曲线的切线与法平面及曲面的切平面与法线，并掌握它们的方程的求法。

6．理解多元函数极值的概念，会求函数的极值；了解条件极值的概念，会用拉格朗日乘数法求条件极值；会求解一些较简单的最大值和最小值的应用问题。

重点：偏导数概念；全微分概念；多元复合函数求导法则。

难点：二元函数极限的计算；多元复合函数的求导法则，隐函数求导法则的运用；条件极值的概念与拉格朗日乘数法的意义；二元函数的泰勒公式的引出。

深度和广度：复合函数的求导法则；会求由一个方程所确定的隐函数的偏导数．

第十章重积分

教学内容：二重积分、三重积分的概念及其性质；二重积分（包括直角坐标系和极坐标系）和三重积分（包括直角坐标系、柱坐标系和球坐标系）的计算方法；二重积分和三重积分的应用（体积、质量、重心、转动惯量、引力等）；

教学要求：

1．理解二重积分、三重积分的概念，知道重积分的性质。

2．熟练掌握二重积分的计算方法（直角坐标、极坐标）；掌握三重积分的计算方法（直角坐标、柱坐标、球坐标）．

3．能用重积分来表达一些几何量与物理量（如体积、质量、重心等等）．

重点：二重积分、三重积分的计算。

难点：二重积分、三重积分计算中的坐标系的选择，积分次序的选择与定限（特别是利用球面坐标计算三重积分）。

深度和广度：重积分换限及重积分的应用。

第十一章曲线积分与曲面积分

教学内容：两类线面积分的概念、性质及其计算；两类线面积分之间的关系；格林公式；高斯（Gauss）公式；散度的概念及其计算；曲线积分和曲面积分的应用（弧长、曲面面积、质量、重心、转动惯量、功、引力和流量等）

教学要求：

1．理解两类曲线积分的概念；知道两类曲线积分的性质；掌握两类曲线积分的计算方法．

2．熟悉格林公式，会运用平面曲线积分与路径无关的条件．

3．知道两类曲面积分的概念及高斯（Gauss）公式，并会计算两类曲面积分；能用曲线积分及曲面积分来表达一些几何量与物理量（如体积、质量、重心等等）．

重点：曲线积分的概念与计算；曲面积分的概念与计算。

难点：定积分、线积分的识别；二重积分、曲面积分的识别；对坐标的曲面积分和曲面积分概念的建立；曲面的侧；对坐标的曲面积分的计算。

深度和广度：熟悉格林公式，会运用平面曲线积分与路径无关的条件；掌握对坐标的曲面积分的计算。

第十二章无穷级数

教学内容：常数项级数的收敛与发散的概念；收敛级数的和的概念；级数的基本性质与收敛的必要条件；几何级数和p级数的收敛性；正项级数的比较审敛法和比值审敛法；交错级数的莱布尼兹定理；绝对收敛；条件收敛；函数项级数的收敛域与和函数的概念；幂级数的收敛半径和收敛域；幂级数在其收敛域内的基本性质；简单的幂级数的和函数的求法；函数可展开为泰勒级数的充分必要条件；幂级数在近似计算中的应用；函数的傅立叶（Fourier）系数与傅立叶级数；狄里克雷（Dirichlet）定理；函数在[-1,1]上的傅立叶级数；函数在[0,l]上的傅立叶级数；函数在[0,l]上的正弦级数和余弦级数

教学要求：

1．理解无穷级数收敛、发散以及和的概念；了解无穷级数收敛的必要条件；知道无穷级数的基本性质；熟悉几何级数和p级数的收敛性；掌握正项级数的比较审敛法；熟练掌握正项级数的比值审敛法。

2．掌握交错级数的莱布尼兹定理，了解无穷级数绝对收敛与条件收敛的概念，以及绝对收敛与收敛的关系。

3．知道函数项级数的收敛域及和函数的概念．熟练掌握较简单幂级数的收敛域的求法；知道幂级数在其收敛区间内的一些基本性质；知道函数展开为泰勒级数的充要条件。

4．掌握,,,,,的麦克劳林展开式，并能利用这些展开式将一些简单的函数展成幂级数；会用幂级数进行一些近似计算。

5．知道函数展开为傅里叶(Fourier)级数的充分条件，并能将定义在[-π,π] 和 [-l, l]上的函数展开为博里叶级数；能将定义在[0, l]上的函数展开为正弦或余弦级数。

重点：级数收敛与发散的概念；正项级数的审敛法（尤其是比值判别法）；求幂级数的收敛半径与收敛区间；利用幂级数性质和已知的基本初等函数展式将初等函数展成幂级数----间接展开法；狄利克雷收敛定理。

难点：级数的敛散性的判定；将函数展成幂级数；将函数展成三角级数的必要性；狄利克雷定理的理解。

深度和广度：幂级数在收敛区域内求和函数，求常数项级数之和。

三、课程教学基本要求

1．课堂讲授：

教学方法采用课堂与课件配合使用、以讲述为主，使学生从中学到本课程的基本内容，并学会逻辑推理方法。

2．作业方面：

布置习题的目的有两点：一是加深同学对基本概念的理解;二是强化计算方法。

3．考核方式：

期末考试实行教考分离，由教研室统一命题，采用笔试形式，题型有选择题、填空题、计算题和证明题，采取流水作业集体阅卷，保证阅卷标准的统一；并对试卷和学生成绩进行分析，写出较为详细的试卷分析报告，分析教学中的不足之处，为下一届学生的教学提供了改进的依据。

四、实践教学环节

无

五、学时分配

章	学时分配						合计
章	讲课	习题课	实验课	上机课	讨论课	其他	合计
1	16	4					20
2	10	4					14
3	12	4					16
4	8	4					12
5	8	2					10
6	6	2					8
7	14	4					18
8	12	4					16
9	14	4					18
10	10	4					14
11	12	4					16
12	18	4					22
合计	140	44					184

六、教学内容更新说明

教学内容基本不变，顺序有所调整，如将原第12章的微分方程调整为第7章。

制订者：赵彦晖、李顺波

审定者：燕列雅

批准者：冯小娟

校对者：赵彦晖

制定日期：2010 年 5 月 20 日

高等数学Ⅰ课程教学大纲