高等数学Ⅱ课程教学大纲
英文名称：Advanced MathematicsⅡ
课程编号：110102
课程类型：通修
学 时：112
学 分：7
适用对象：建筑、城规类各专业本科生
先修课程：初等数学
建议教材：《高等数学》（本科少学时）（第2版），同济大学编，高等教育出版社，
2001
《工科线性代数》，崔荣泉，杨泮池编，陕西科学技术出版社，2002
《线性代数》（第4版），同济大学编，高等教育出版社，2003
一、课程的性质、目的和任务
1．课程性质
高等数学是高等工科院校教学计划中的一门重要的基础课，他是为培养四化建设人才服务的。开设这门课，是要系统而全面地介绍高等数学（主要是微积分）的基本原理，基本方法，及其在几何、物理中的应用，为学生学习后继课程奠定必要而良好的数学基础。
2．课程目的和任务
通过本课程的各个教学环节，努力培养学生的抽象思维、逻辑推理能力、运算能力和空间想象能力，使他们受到运用数学方法分析和解决实际问题的初步训练，从而自觉地运用数学这一有力工具为学习后继课程，为科学技术工作，为改造自然服务。
二、课程教学内容及要求
第一章 函数 极限
教学内容：函数的概念及表示法；函数的有界性、单调性、周期性、奇偶性；反函数、复合函数和隐函数；基本初等函数的性质及其图形；初等函数；简单应用问题函数关系的建立；数列极限的定义；函数极限的定义和函数的左右极限；无穷小；无穷大；无穷小的比较；极限四则运算；极限存在的两个准则：单调有界准则和夹逼准则；两个重要极限；函数连续的概念；函数间断点的概念；初等函数的连续性；闭区间上连续函数的性质（最大值和最小值定理；介值定理）
教学要求：
1．理解函数的概念，掌握函数的表示法，并会建立简单应用问题中的函数关系式。
2．了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。
3．理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。
4．掌握基本初等函数的性质及图形。
5．理解极限的概念，理解函数的左极限与右极限的概念，以及函数极限存在与左右极限之间的关系。
6．掌握极限的性质及四则运算法测。
7．掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握用两个重要极限求极限的方法。
8．理解无穷小；无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。
9．理解函数连续性的概念（含左连续和右连续），会判别函数间断点的类型。
10．了解连续函数的性质和初等函数的连续性，了解闭区间上连续函数的性质（有界性；最大值和最小值定理；介值定理），并会应用这些性质。
重点：函数概念；连续性概念；极限的四则运算法则；初等函数连续性的结论
难点：反函数的概念；反三角函数的主值；复合函数的分解；极限的分析定义；非初等函数连续性的判定；极限运算法则的运用；函数关系式的建立。
深度和广度：分段函数在分段点的连续性，左、右极限的ε-N；ε-δ定义。
第二章 导数与微分
教学内容：导数和微分的概念；导数的几何意义和物理意义；函数的可导性与连续性之间的关系；平面曲线的切线和法线及其方程；基本初等函数的导数；导数和微分的四则运算；反函数、复合函数、参数方程所确定的函数和隐函数的微分法；高阶导数的概念；某些简单函数的n阶导数；一阶微分形式不变性；微分在近似计算中的应用
教学要求：
1．理解导数和微分的概念，理解导数和微分的关系，理解导数的几何意义并会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的关系。
2．掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，掌握基本初等函数的导数公式。了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分。
3．了解高阶导数的概念，会求简单函数的n阶导数；会求简单分段函数的一阶、二阶导数；会求隐函数和由参数方程所确定的函数的一阶二阶导数，会求反函数的导数。
重点：导数作为变化率的概念；微分作为函数增量的线性主部的概念；基本初等函数的求导公式；函数和差积商的求导法则；复合函数的求导法则
难点：导数作为变化率的理解；复合函数求导法则的运用；一阶微分形式不变性的理解和应用；求隐函数和由参数方程所确定的函数的二阶导数
深度和广度：会求隐函数的一阶二阶导数，参数方程的一阶二阶求导。
第三章 中值定理与导数的应用
教学内容：罗尔定理；拉格朗日中值定理；柯西中值定理；泰勒中值定理；洛必达法则；函数的极值概念及其求法；函数增减性和函数图形的凹凸性的判定；函数图形的拐点及其求法；描绘函数的图形（包括水平、铅直渐近线）函数最大值和最小值的求法及其应用；弧微分；曲率的概念及计算；曲率半径.
教学要求：
1．理解并会用罗尔定理和拉格朗日中值定理，了解柯西中值定理和泰勒公式。
2．理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法，掌握函数最大值和最小值的求法及其简单应用。
3．会用导数判断函数图形的凹凸性，会求函数图形的拐点以及水平；铅直渐近线，会描绘函数的图形。
4．掌握用洛必达法则求未定式极限的方法。
5．了解曲率和曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径。
重点：拉格朗日中值定理；洛必达法则；最大最小值问题；函数图形的描绘
难点：微分中值定理中辅助函数的引进；微分中值定理的应用；泰勒公式的意义；洛必达法则的应用；最值的应用问题
深度和广度：导数在物理方面的应用。
第四章 不定积分
教学内容：原函数和不定积分的概念；不定积分的基本性质；基本积分公式；不定积分的换元积分法和分部积分法；有理函数的不定积分
教学要求：
1．理解原函数的概念，理解不定积分的概念。掌握不定积分的基本公式、性质以及换元积分法和分部积分法。
2．了解有理函数的不定积分。
重点：不定积分概念；第一类换元法；分部积分法；有理函数的积分
难点：不定积分概念；第二类换元法；分部积分法
深度和广度：加强换元积分法和分部积分法的练习；明确不定积分与一个原函数之间的区别与联系。
第五章 定积分及其应用
教学内容：定积分的概念和基本性质；积分中值定理；变上限定积分及其导数；牛顿-莱布尼兹公式；定积分的换元积分法和分部积分法；定积分的应用,反常积分的概念及计算；平面图形的面积；平面曲线的弧长；旋转体的体积及其侧面积；平行截面面积已知的立体的体积；变力做功和引力
教学要求：
1．运用定积分的元素法表达和计算一些几何量与物理量（平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积、平行截面面积已知的立体的体积、变力作功、引力、压力和函数平均值等）;
2．理解定积分的概念。掌握定积分的性质及中值定理，掌握定积分的换元积分法和分部积分法;
3．理解变上限积分定义的函数，会求它的导数，掌握牛顿-莱布尼兹公式;了解反常积分的概念并会计算反常积分。
重点：定积分的定义；定积分的换元和分部积分法；牛顿--莱布尼兹定理
难点：定积分概念的理解；积分上限函数的概念；定积分换元积分法的计算；定积分的元素法.
深度和广度：定积分概念的理解；掌握牛顿-莱布尼兹公式。
第六章 常微分方程
教学内容：常微分方程的概念；微分方程的解；通解；初始条件和特解；变量可分离的方程；齐次方程；一阶线性方程；用简单的变量代换求解方程；三种可降阶的高阶微分方程；二阶常系数齐次线性微分方程；二阶的常系数非齐次线性微分方程
教学要求：
1．了解微分方程及其解；阶；通解；初始条件和特解等概念。
2．掌握变量可分离的微分方程及一阶线性微分方程的解法，会解齐次微分方程。
3．会用降阶法解方程：
4．掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法。
5．掌握二阶常系数非齐次线性微分方程的解法.
6．会用微分方程解决一些简单的应用问题。
重点：微分方程的解和初始条件；可分离变量的微分方程；一阶和二阶线性微分方程的解法
难点：微分方程的建立；自由项为
形的常系数线性微分方程特解的设立
深度和广度：用微分方程解决一些简单的应用问题。
第七章 线性代数初步
教学内容：行列式的概念和基本性质；行列式按行（列）展开定理。矩阵概念；矩阵的线性运算；矩阵的乘法；方阵的幂；方阵乘积的行列式；矩阵的转置；逆矩阵的概念；矩阵可逆的充分必要条件；伴随矩阵；矩阵的初等变换；初等矩阵；矩阵的等价；矩阵的秩；初等变换求矩阵的秩和逆矩阵的方法；向量的概念；向量的线性组合和线性表示；向量组的线性相关和线性无关；向量组的极大无关组；等价向量组；向量组的秩；向量组的秩与矩阵的秩之间的关系；线性方程组的克莱姆法则；齐次方程组有非零解的充分必要条件；非齐次方程组有解的充分必要条件；线性方程组解的性质和解的结构；齐次线性方程组的基础解系和通解；非齐次线性方程组的通解；行初等变换求解线性方程组的方法
教学要求：
1．了解行列式的概念，掌握行列式的性质，会用行列式的性质及有关定理计算行列式
2．理解矩阵的概念，了解单位矩阵；对角矩阵；对称矩阵；三角矩阵；反对称矩阵，以及它们的性质。
3．掌握矩阵的线性运算，乘法转置以及它们的运算规律，了解方阵的幂与方阵乘积的行列式。
4．理解逆矩阵的概念，掌握逆矩阵的性质，以及矩阵可逆的充分必要条件，理解伴随矩阵的概念，会用伴随矩阵求逆矩阵。
5．了解矩阵的初等变换，了解初等矩阵的性质和矩阵等价的概念，理解矩阵的秩的概念，掌握用初等变换求矩阵的秩和逆矩阵的方法。
6．理解n维向量的概念；向量的线性组合与线性表示。
7．理解向量组线性相关；线性无关的定义，了解并会用向量组线性相关；线性无关的性质及判别法。
8．了解向量组的极大线性无关组和向量组的秩的概念，会求向量组的极大无关组和秩。
9．了解向量组等价的概念以及向量组的秩与矩阵秩的关系。
10．会用克莱姆法则。
11．理解齐次线性方程组有非零解的充分必要条件及非齐次方程组有解的充分必要条件。
12．理解齐次线性方程组的基础解系及通解的概念。
13．理解非齐次方程组的解的结构及通解的概念。
14会用行初等变换求解线性方程组。
重点：行列式的性质和计算；矩阵的运算；初等变换与初等矩阵；矩阵的秩；求逆矩阵的方法；矩阵的秩及其求法；等价矩阵；逆矩阵的概念及其求法；向量组的线性相关和线性无关；向量组的极大无关组和向量组的秩；等价向量组；线性方程组解的结构；齐次方程组的基础解系；求方程组的通解
难点：矩阵的乘法；矩阵的秩；矩阵的初等变换与初等矩阵；逆矩阵的概念及其求法；向量组的线性相关和线性无关
深度和广度：行列式的性质和计算；理解逆矩阵的性质; 线性方程组解的结构；
三、课程教学基本要求
1．课堂讲授：
教学方法采用课堂与课件配合使用、以讲述为主，使学生从中学到本课程的基本内容，并学会逻辑推理方法。
2．作业方面：
布置习题的目的有两点：一是加深同学对基本概念的理解;二是强化计算方法。
3．考核方式：
考试形式以笔试为主，题型有选择题、填空题、计算题和证明题。
四、实践教学环节
无
五、学时分配
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章 |
学 时
分 配 |
合计 |
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讲课 |
习题课 |
实验课 |
上机课 |
讨论课 |
其他 |
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1 |
16 |
2 |
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18 |
|
2 |
10 |
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10 |
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3 |
12 |
2 |
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14 |
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4 |
8 |
2 |
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10 |
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5 |
18 |
2 |
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20 |
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6 |
10 |
4 |
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14 |
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7 |
22 |
4 |
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26 |
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合计 |
96 |
16 |
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112 |
六、教学内容更新说明
教学内容基本不变。
制订者：杜丽英、马思遥
审定者：燕列雅
批准者：冯小娟
校对者：杜丽英
制定日期：2010 年 5 月20 日