第二节 洛必达法则
教学目的：理解洛必达法则，掌握用洛必达法则求
型和
型以及
型未定式的极限的方法; 了解
型极限的求法.
教学重点：洛必达法则.
教学难点：理解洛必达法则失效的情况, 型的极限的求法.
教学内容：
一、
型和型未定式极限
若当
（或
）时，函数
和
都趋于零(或无穷大)，则极限
可能存在、也可能不存在，通常称为
型和型未定式.
例如 
, (型); 
, (型).
定理3-2-1 设
(1)当
时, 函数和都趋于零;
(2)在
点的某去心邻域内,
和
都存在且
;
(3) 
存在(或无穷大),
则
定义：这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的值的
方法称为洛必达法则
证明: 定义辅助函数
, 
在
内任取一点
, 在以和为端点的区间上函数
和
满足柯西中值定理的条件, 则有
, (
在与之间)
当
时,有
, 所以当
, 有
故
.
证毕
例3-3 求
, (型)
解
原式=
=
例3-4 求
, (型)
解 原式= 
= 
例3-5 求 
, (型)
解 原式=
=
=1
说明: 如果
仍属于型, 且和满足洛必达法则的条件,可继续使用洛必达法则, 即
;
二、型未定式极限
当时, 该法则仍然成立, 有
;时的未定式
，也有相应的洛必达法则; 洛必达法则是充分条件;如果数列极限也属于未定式的极限问题，需先将其转换为函数极限，然后使用洛必达法则，从而求出数列极限.
例3-6 求 
, (型).
解 原式= 
= 
=1
例3-7 求 
, (型)
解 原式=
= 
= 
= 
= 
注意：洛必达法则是求未定式的一种有效方法，但与其它求极限方法结合使用，效果更好.
例3-8 求
解 原式= 
= 
=
=
三、其它未定式的极限
关键: 将其它类型未定式化为洛必达法则可解决的类型
型和型.
1．
型未定式的求法
步骤：
或
例3-9 求
型
解 原式=
=
步骤：
例3-10 求 
型
解
原式=
步骤：
例3-11 求
型
解
原式=
例3-12 求
型
解
原式=
例3-13 求
型
解
由于
而
所以
原式=
注意：洛必达法则的使用条件．
例3-14 求
解
原式=
极限不存在
（洛必达法条件不满足的情况）
正确解法为 原式=
例3-15 求
解
设
，则
因为
=
=
从而
原式=