第五节函数的极值与最大值最小值

教学目的：掌握函数极值、最大值、最小值的求法及其简单应用

教学重点：函数最极值、大值、最小值的判断方法和求法

教学难点：函数最极值、大值、最小值的求法

教学内容：

一、函数的极值及其求法

函数的极大值与极小值统称为函数的极值, 使函数取得极值的点称为极值点.

定理 (第一种充分条件) 设函数在点处连续, 在的某去心邻域内可导.

(1) 若时，, 而时，, 则函数在处取得极大值;

(2) 若时，, 而时，, 则函数在处取得极小值;

(3)如果时，不改变符号, 则函数在处没有极值.

确定极值点和极值的步骤:

(1)求出导数;

(2)求出的全部驻点和不可导点;

(3)列表判断(考察的符号在每个驻点和不可导点的左右邻近的情况, 以便确定该点是否是极值点, 如果是极值点, 还要按定理2确定对应的函数值是极大值还是极小值);

(4)确定出函数的所有极值点和极值.

例3-25 求出函数的极值

解

令得驻点列表讨论

极大值

极小值

所以极大值极小值

例3-26 求函数的极值.

解显然函数在内连续, 除外处处可导, 且

令, 得驻点，为的不可导点;

(3)列表判断

	-1		1
+	不可导	-	0	+
↗	0	↘		↗

所以极大值为, 极小值为.

如果存在二阶导数且在驻点处的二阶导数不为零则有

定理 (第二种充分条件) 设函数在点处具有二阶导数且,

, 那么

(1)当时, 函数在处取得极大值;

(1)当时, 函数在处取得极小值;

证明对情形(1), 由于, 由二阶导数的定义有

根据函数极限的局部保号性, 当在的足够小的去心邻域内时,

. 但, 所以上式即为.

于是对于去心邻域内的来说, 与符号相反. 因此, 当即时,; 当即时,. 根据定理2, 在处取得极大值.

类似地可以证明情形(2).

例3-27 求出函数的极值

解

令得驻点，由于

由于所以极大值

而所以极小值

函数的不可导点,也可能是函数的极值点.

例3-28 求出函数的极值

解由于，所以时函数的导数不存在,但当时，当时，所以为的极大值

例3-29 求函数的极值.

解 ,令f ¢(x)=0, 求得驻点,

又, 所以,

因此在处取得极小值, 极小值为.

因为, 所以用定理3无法判别. 而在处的左右邻域内, 所以在处没有极值; 同理, 在处也没有极值.

注

极值是函数的局部性概念，因此函数的极大值可能小于极小值,极小值可能大于极大值.

驻点和不可导点统称为临界点. 函数的极值必在临界点处取得.

极值的判别法要注意使用条件

极值与最值的关系:

函数的极大值和极小值概念是局部性的. 如果是函数的一个极大值, 那只是就附近的一个局部范围来说, 是的一个最大值; 如果就的整个定义域来说, 不一定是最大值. 对于极小值情况类似.

设函数在闭区间上连续, 则函数的最大值和最小值一定存在. 函数的最大值和最小值有可能在区间的端点取得, 如果最大值不在区间的端点取得, 则必在开区间内取得, 在这种情况下, 最大值一定是函数的极大值. 因此, 函数在闭区间上的最大值一定是函数的所有极大值和函数在区间端点的函数值中最大者. 同理, 函数在闭区间[a, b]上的最小值一定是函数的所有极小值和函数在区间端点的函数值中最小者.