教学目的: 理解不定积分的概念及性质;熟悉不定积分的基本公式
教学重点:不定积分概念
教学难点:不定积分概念
教学内容:
1.原函数的概念
例如,设已知直线运动质点的速度为,求质点的运动方程.
设质点的运动方程为,于是就有
.由此,问题归结到求一个可微函数
,使
,并满足
.
抽去问题的物理内容,从数学的角度看,就是要进行求导的逆运算. 即使,设在区间
上有定义,求区间上可微函数
,使
.
定义 如果在区间上,
,则称函数
在区间
上是函数
的原函数.
现在的问题是:
(1)在什么条件下存在原函数?
(2)如果有原函数,问它有多少个原函数?
(3)如果有多个原函数,问这些原函数之间有何关系?
这些问题可由下面的定理回答.
定理 如果函数在
上连续,则在区间
上函数
必有原函数.
定理 在区间上,如果
是
的一个原函数,则
(
为任意常数)也是
的原函数.
定理 如果在区间上,
,
都是
的原函数,则存在常数
,使
.
例1 设,
(
为常数),验证:
、
在
上是
的原函数.
解:,
、
都是
的原函数,且
.
这表明,如果有一个原函数
,则有无穷多个原函数
.
例2 验证函数,
都是函数
的原函数.
解 ,
,
,
都是函数
的原函数.
2.不定积分的概念
定义 函数(在区间
上)的原函数的全体所成之集,叫做
(在区间
上)的不定积分,记为
.
即
.
其中,叫做被积函数,
叫做积分变量,
叫做积分常数.
由此可见要计算函数的不定积分,只需求出其中的一个原函数,再加上一个任意常数即可.
例如,因为 , 所以
是
的一个原函数,因此
.
1) (
为常数)
2) (
)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
11)
12)
13)
14)
15)
例3 求下列不定积分:
(1); (2)
;
(3)
;
(4); (5)
.
解:(1);
(2)
;
(3);
(4);
(5).
1.不定积分与微分(或导数)的关系
(1) 或
;
(2) 或
.
2.线性运算性质
(1) ;
(2)
.