第一节     不定积分的概念与性质

教学目的: 理解不定积分的概念及性质;熟悉不定积分的基本公式

教学重点:不定积分概念

教学难点:不定积分概念

教学内容:

一、原函数与不定积分的概念

1.原函数的概念

例如,设已知直线运动质点的速度为,求质点的运动方程.

设质点的运动方程为,于是就有.由此,问题归结到求一个可微函数,使,并满足.

抽去问题的物理内容,从数学的角度看,就是要进行求导的逆运算. 即使,设在区间上有定义,求区间上可微函数,使.

定义  如果在区间上,,则称函数在区间上是函数原函数.

现在的问题是:

1在什么条件下存在原函数?

2)如果有原函数,问它有多少个原函数?

3)如果有多个原函数,问这些原函数之间有何关系?

这些问题可由下面的定理回答.

定理  如果函数上连续,则在区间上函数必有原函数.

定理  在区间上,如果的一个原函数,则为任意常数)也是的原函数.

定理 如果在区间上, 都是的原函数,则存在常数,使

.

1  为常数),验证:上是的原函数.

解:

都是的原函数,且.

这表明,如果有一个原函数,则有无穷多个原函数.

2  验证函数都是函数的原函数.

 

     

都是函数的原函数.

2.不定积分的概念

定义  函数(在区间上)的原函数的全体所成之集,叫做(在区间上)的不定积分,记为.

                           .

其中,叫做被积函数叫做积分变量叫做积分常数.

    由此可见要计算函数的不定积分,只需求出其中的一个原函数,再加上一个任意常数即可.

例如,因为 所以 的一个原函数,因此.

二、基本积分表

1)      (为常数)

2)     ()

3)

4)

5)

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

3  求下列不定积分

1   2   3

4   5.

解:(1

   2

       3

4

5.

三、不定积积分性质

1.不定积分与微分(或导数)的关系

(1)        

(2)        .

2.线性运算性质

(1)

(2) .