第一节 不定积分的概念与性质

教学目的： 理解不定积分的概念及性质；熟悉不定积分的基本公式

教学重点：不定积分概念

教学难点：不定积分概念

教学内容：

一、原函数与不定积分的概念

1.原函数的概念

例如，设已知直线运动质点的速度为，求质点的运动方程.

设质点的运动方程为，于是就有.由此，问题归结到求一个可微函数，使，并满足.

抽去问题的物理内容，从数学的角度看，就是要进行求导的逆运算. 即使，设在区间上有定义，求区间上可微函数，使.

定义 如果在区间上，，则称函数在区间上是函数的原函数.

现在的问题是：

（1）在什么条件下存在原函数？

（2）如果有原函数，问它有多少个原函数？

（3）如果有多个原函数，问这些原函数之间有何关系？

这些问题可由下面的定理回答.

定理 如果函数在上连续，则在区间上函数必有原函数.

定理 在区间上，如果是的一个原函数，则（为任意常数）也是的原函数.

定理 如果在区间上， ，都是的原函数，则存在常数，使

.

例1 设，（为常数），验证：、在上是的原函数.

解：，

、都是的原函数，且.

这表明，如果有一个原函数，则有无穷多个原函数.

例2 验证函数，都是函数的原函数.

解 ，

，

，都是函数的原函数.

2.不定积分的概念

定义 函数（在区间上）的原函数的全体所成之集，叫做（在区间上）的不定积分，记为.

即 .

其中，叫做被积函数，叫做积分变量，叫做积分常数.

由此可见要计算函数的不定积分，只需求出其中的一个原函数，再加上一个任意常数即可.

例如，因为 ， 所以 是的一个原函数，因此.

二、基本积分表

1) (为常数)

2) ()

3)

4)

5)

6）

7）

8）

9）

10）

11）

12）

13）

14）

15）

例3 求下列不定积分：

（1）； （2）； （3）；

（4）； （5）.

解：（1）；

（2）

；

（3）；

（4）；

（5）.

三、不定积积分性质

1.不定积分与微分（或导数）的关系

(1) 或 ；

(2) 或 .

2.线性运算性质

(1) ；

(2) .