第一节 定积分的换元法与分部积分法

教学目的：熟悉定积分的换元法和分部积分法

教学重点：定积分换元法与分部积分法

教学难点：定积分换元法的运用

教学内容：

一、定积分的换元法

定理 假设函数在上连续，函数满足条件：

（1）

（2）在（或）上具有连续导数，且其值不越出 ，则有

例1 计算下列定积分：

（1）； （2）；

（3）； （4）.

解：（1）设，则，且当时；当时.

故

注：换元公式也可以反过来使用，即.

（2）设，则

（3）

（4）设，则，且 当时；当时.

故

例2 若在上连续， 证明：

（1）当为偶函数时，；

（2）当为奇函数时，.

证：

（1）当为偶函数时，，所以 ；

（2）当为奇函数时，，所以 .

例3 若在上连续，证明：

（1）；（2），

且由此计算.

证：（1）设，则，且当时；当时.

故

（2）设，则，且当时；当时.

故

所以

（3）利用此公式可得：

例4 设函数，计算 .

解：设

二、定积分的分部积分法

定理 设在上具有连续导数，则

即 .

这就是定积分的分步积分公式.

例1 计算定积分：（1）；（2）.

解：（1）设,则

（2）设，则

例2 证明定积分公式：

证：设，则由分步积分公式可得：

故

由此递推公式即得：