第一节 反常积分

教学目的：了解反常积分的概念

教学重点：反常积分的计算

教学难点：被积函数有无穷型间断点的反常积分的识别

教学内容：

一、无穷限反常积分

定义 设函数在区间上连续，取.如果极限存在,则称此极限为函数在无穷区间上的反常积分,记作,即

.

这时也称反常积分收敛;如果上述极限不存在,函数在无穷区间上的反常积分就没有意义,习惯上称为反常积分发散,这时记号不再表示数值了.

类似地,设函数在区间上连续,取. 如果极限存在，则称此极限为函数在无穷区间上的反常积分，记作，即

这时也称反常积分收敛；如果上述极限不存在，就称反常积分发散.

设函数在区间上连续，如果反常积分 和 都收敛，则称上述两反常积分之和为函数在无穷区间上的反常积分，记作，即

这时也称反常积分收敛；否则就称反常积分发散.

例1 计算反常积分：（1）；（2）（是常数，且）

解：（1）

（2）

例2 证明：反常积分 当时收敛；当时发散.

证：当时，

当时，

故 命题得证.

二、无界函数的反常积分

定义 设函数在上连续，而在点的右邻域内无界，如果极存在，则称此极限为函数在上的反常积分，仍然记作.即

.

这时也称反常积分收敛。如果上述极限不存在，就称反常积分发散.

类似地，设函数在上连续，而在点的左邻域内无界，如果极限存在，则定义.否则，就称反常积分发散.

设函数在上除点外连续，而在点的邻域内无界，如果两个反常积分 与都收敛，则定义

否则，就称反常积分发散.

例1 计算反常积分

解：

例2 讨论反常积分的收敛性

解：

故 所求反常积分发散.

例3 证明反常积分当时收敛；当时发散.

证：当时，；

当时，.

故 反常积分 当时收敛；当时发散.