第四节 空间曲线及其方程

教学目的：介绍空间曲线的各种表示形式.

教学重点：1.空间曲线的一般表示形式

2.空间曲线在坐标面上的投影

教学难点：空间曲线在坐标面上的投影

教学内容：

一．空间曲线的一般方程

空间曲线可以看作两个曲面的交线，故可以将两个曲面联立方程组形式来表示曲线.

二．空间曲线的参数方程

将曲线C上的动点的坐标表示为参数t的函数:

三．空间曲线在坐标面上的投影

设空间曲线C的一般方程为

消去其中一个变量（例如z）得到方程

曲线的所有点都在方程（4）所表示的曲面（柱面）上.

此柱面（垂直与xoy平面）称为投影柱面，投影柱面与xoy平面的交线叫做空间曲线C在xoy面上的投影曲线，简称投影，用方程表示为

同理可以求出空间曲线C在其它坐标面上的投影曲线.

在重积分和曲面积分中，还需要确定立体或曲面在坐标面上的投影，这时要利用投影柱面和投影曲线.

例子：设一个立体由上半球面和锥面所围成，见右图，求它在xoy面上的投影.

解：半球面与锥面交线为

消去z并将等式两边平方整理得投影曲线为：

即xoy平面上的以原点为圆心、1为半径的圆.立体在xoy平面上的投影为圆所围成的部分：

小结：本节是为重积分、曲面积分作准备的，学生应知道各种常用立体的解析表达式，并简单描图，对投影等应特别注意.