教学目的:学习偏导数的定义,学会求多元函数的偏导数和多阶偏导数。
教学重点:偏导数的定义,判断二元函数偏导数的存在性,计算二元、多元函数的偏导数。
教学难点:判断二元函数偏导数的存在性,计算多元函数的偏导数。
教学内容:
在研究一元函数时,我们从研究函数的变化率引入了导数概念.对于多元函数同样需要讨论它的变化率.但多元函数的自变量不止一个,因变量与自变量的关系要比一元函数复杂得多.在这一节里,我们首先考虑多元函数关于其中一个自变量的变化率.以二元函数为例,如果只有自变量
变化,而自变量
固定(即看作常量),这时它就是
的一元函数,这函数对
的导数,就称为二元函数
对于
的偏导数,即有如下定义:
定义 设函数 =
在点
的某一邻域内有定义,当
固定在
而
在
处有增量
时,相应地函数有增量
,
如果 (1)
存在,则称此极限为函数在点
处对
的偏导数,记作
,
,
或
例如,极限(1)可以表示为
. (2)
类似地,函数在点
处对
的偏导数定义为
(3)
记作 ,
,
或
如果函数在区域D内每一点
处对
的偏导数都存在,那么这个偏导数就是
的函数,它就称为函数
对自变量
的偏导数,记作
,
,
或
类似地,可以定义函数对自变量
的偏导数,记作
,
,
或
由偏导数的概念可知,在点处对
处对
的偏导数
显然就是偏导函数
在点
处的函数值;
就是偏导函数
在点
处的函数值.就象一元函数的导函数一样,以后在不至于混淆的地方也把偏导函数简称为偏导数.
至于实际求的偏导数,并不需要用新的方法,因为这里只有一个自变量在变动,另一个自变量是看作固定的,所以仍就是一元函数的微分法问题.求
时,只要把
暂时看作常量而对
求导数;求
时,则只要把
暂时看作常量而对
求导数.
偏导数的概念还可以推广到二元以上的函数.例如三元函数 =
(
) 在点(
) 处对
的偏导数定义为
其中 ()是函数
的定义域的内点.它们的求法也仍旧是一元函数的微分法问题.
例8-9 求
在点(1, 2)处的偏导数.
解 把看作常量,得
把 看作常量,得
将 (1, 2)代入上面的结果,就得
,
例8-10 求的偏导数.
解 ,
例8-11 设,求证:
+
证 因为 ,
,
所以 +
=
+
例8-12 求 的偏导数.
解 把
和
都看作常量,得
=
=
由于所给函数关于自变量的对称性,所以
=
,
=
.
二元函数在点
的两个偏导数有明显的几何意义:设
为曲面
上的一点,过
作平面
,截此曲面得一曲线,此曲线在平面
上的方程为
,则导数
, 即偏导数
,就是这曲线在点
处的切线
对
轴的斜率(见图8-6).同样,偏导数
的几何意义是曲面被平面
所截得的曲线在点
处的切线
对
轴的斜率.
我们已经知道,如果一元函数在某点具有导数,则它在该点必定连续.但对于多元函数来说,即使各偏导数在某点都存在,也不能保证函数在该点连续.这是因为各偏导数存在只能保证点沿着平行于坐标轴的方向趋于
时,函数值
趋于
,但不能保证点
按任何方式趋于
时,函数值
都趋于
.例如,函数
在点(0,0)对的偏导数为
同样有
但是我们在第一节中已经知道这函数在点(0,0)并不连续.
设函数在区域
内具有偏导数
,
,
那么在D内 、
都是
的函数.如果这两个函数的偏导数也存在,则称它们是函数
的二阶偏导数.按照对变量求导次序的不同有下列四个二阶偏导数:
=
,
=
,
=
,
=
其中第二、三个偏导数称为混合偏导数.同样可得三阶、四阶、以及阶偏导数.
二阶及阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.
例8-13 设,求
、
、
、
及
.
解 =
,
=
;
=
,
=
;
=
,
=
;
= 6
我们看到上例中两个二阶混合偏导数相等,即 =
这不是偶然的.事实上,我们有下述定理.
定理 如果函数的两个二阶混合偏导数
及
在区域D内连续,那么在该区域内这两个二阶混合偏导数必相等.
换句话说,二阶混合偏导数在连续的条件下与求导的次序无关.这定理的证明从略.
对于二元以上的函数,我们也可以类似地定义高阶偏导数.而且高阶混合偏导数在偏导数连续的条件下也与求导的次序无关.
例8-14 验证函数 满足方程
+
=0 .
证 因为,
所以
=
,
=
,
=
=
=
=
因此
+
=
+
=0
定理 如果函数的两个二阶混合偏导数
及
在区域D内连续,那么在该区域内这两个二阶混合偏导数必相等.
换句话说,二阶混合偏导数在连续的条件下与求导的次序无关.这定理的证明从略.
对于二元以上的函数,我们也可以类似地定义高阶偏导数.而且高阶混合偏导数在偏导数连续的条件下也与求导的次序无关.
例8-15 验证函数 满足方程
+
=0 .
证 因为,
所以
=
,
=
,
=
=
,
=
=
因此 +
=
+
=0.
小结:本节在一元函数微分学的基础上,讨论多元函数(以二元函数为重点)偏导数的定义及存在条件和求法,这是多元函数微分学的基础.
作业:
1.求下列函数的偏导数:
(1); (2)
;
(3); (4)
;
(5); (6)
;
(7); (8)
.