第四节 多元复合函数求导法则
教学目的：掌握多元函数的求导法则，会求多元函数的导数，掌握全微分形式不变性.
教学重点：针对多元函数的表达状态（参数方程、复合函数），能够求其导函数.
教学难点：抽象复合函数的求导
教学内容：
多元复合函数与隐函数的求导是多元函数微分学中的一个重要内容.本届就是要把一元函数微分学中的求导法则推广到多元函数中去.
1、复合函数的中间变量均为一元函数的情形
定理 如果函数
及
都在点
可导，函数
在对应点
具有连续偏导数，则复合函数
在点可导，且其导数可用下列公式计算：
＝
＋
． 
证 设获得增量
，这时
的对应增量为
、
，由此，函数对应地获得增量
．根据假定，函数在点具有连续偏导数，于是由第三节公式
有
这里，当
，
时，
，
．
将上式两边各除以，得
＝
＋
＋
＋．
因为当
时，，，
，
，所以
=+
这就证明了复合函数在点
可导，且其导数可用公式计算．证毕．
用同样的方法，可把定理推广到复合函数的中间变量多于两个的情形．例如，设
、，
复合而得复合函数
则在与定理相类似的条件下，这复合函数在点可导，且其导数可用下列公式计算
＝＋＋
． 
在公式及中的导数称为全导数．
2. 中间变量不是一元函数而是多元函数的情形
上述定理还可推广到中间变量不是一元函数而是多元函数的情形．
定理 设，
，
复合而得复合函数
如果及都在点
具有对
及对
的偏导数，函数在对应点具有连续偏导数，则复合函数在点的两个偏导数存在，且可用下列公式计算：
=
+
, 
=
+
． 
事实上，这里求时，将看作常量，因此中间变量
及
仍可看作一元函数而应用上述定理．但由于复合函数以及和都、是的二元函数，所以应把式中的
改为
，在把换成，这样便由得到式.同理由式可得到式.
类似地，设、及
都在点具有对及对的偏导数，函数
在对应点
具有连续偏导数，则复合函数
在点的两个偏导数都存在，且可用下列公式计算：
=+＋
，
=+＋
． 
如果具有连续偏导数，而具有偏导数，则复合函数
可看作上述情形中当
，
的特殊情形，因此
＝１， ＝０，
＝０， ＝１，
从而复合函数具有对自变量ｘ及ｙ的偏导数，且由公式及得
＝
＋
，
＝＋
．
注意 这里与是不同的，是把复合函数中的看作不变而对的偏导数，是把
中的及看作不变而对的偏导数．与也有类似的区别
例8-18 设
而
，
．求和．
解 =+
=
=
，
=+
＝
＝
．
例8-19 设
，而
．求和．
解 ＝＋
＝
＋
＝
．
＝＋＝
＋
＝
．
例8-20 设
， 而
，
．求全导数．
解 ＝＋＋
＝
=
=
．
例8-21 设
，
具有二阶连续偏导数，求 及
．
解 令
,
，则
．
为表达简便起见，引入以下记号：
＝
， 
＝
，
这里下标1表示对第一个变量 ｕ求偏导数，下标2表示对第二个变量ｖ求偏导数，同理有
、
、
等等.
因所给函数由及，复合而成，根据复合函数求导法则，有
＝＋
＝＋
，
＝
（＋）＝
＋＋
．
求及时，应注意及仍旧是复合函数，根据复合函数求导法则，有
＝
＋
＝＋
，
＝
＋
＝＋
于是
＝＋＋
+
＋
＝＋
＋＋．
3.全微分形式不变性
设函数具有连续偏导数，则有全微分
＝
＋
．
如果
、又是、的函数、，且这两个函数也具有连续偏导数，则复合函数
的全微分为
＝
＋
，
其中及分别由公式和给出，把公式及中的及代入上式，得
＝
＋
＝
＋
＝＋．
由此可见，无论
是自变量、的函数或者中间变量、的函数，它的全微分形式是一样的.这个性质叫做全微分形式不变性.
小结：
本节要将一元函数微分学中复合函数的求导法则推广到多元复合函数。多元复合函数的求导法则在多元函数微分学中起着重要作用。本节主要针对几类普遍存在的复合函数的求导方法进行了介绍。