第 五 节 隐函数的求导公式
教学目的：掌握由一个方程和方程组确定的隐函数求导公式，熟练计算隐函数的导函数。
教学重点：由一个方程确定的隐函数求导方法。
教学难点：隐函数的高阶导函数的计算。
教学内容：
一、一个方程的情形
在第二章第六节中我们已经提出了隐函数的概念，并且指出了不经过显化直接由方程
=0
(1)
求它所确定的隐函数的方法。现在介绍隐函数存在定理，并根据多元复合函数的求导法来导出隐函数的导数公式.
隐函数存在定理
1
设函数
在点
的某一邻域内具有连续的偏导数，且
，, 
，则方程=0在点
的某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续导数的函数
，它满足条件
，并有
(2)
公式（2）就是隐函数的求导公式
这个定理我们不证。现仅就公式(2)作如下推导。
将方程(1)所确定的函数代入，得恒等式
,
其左端可以看作是
的一个复合函数，求这个函数的全导数，由于恒等式两端求导后仍然恒等，即得
由于
连续，且，所以存在(x0,y0)的一个邻域，在这个邻域内
，于是得
如果的二阶偏导数也都连续，我们可以把等式(2)的两端看作的复合函数而再一次求导，即得
例1 验证方程
在点(0,1)的某一邻域内能唯一确定一个单值且有连续导数、当=0时，
的隐函数，并求这函数的一阶和二阶导数在=0的值。
解 设
，则
,
.因此由定理1可知，方程在点(0,1)的某邻域内能唯一确定一个单值且有连续导数、当=0时，的隐函数。
下面求这函数的一阶和二阶导数
=
， 
;
=
。
隐函数存在定理还可以推广到多元函数.既然一个二元方程(1)可以确定一个一元隐函数，那末一个三元方程
(
)=0 (3)
就有可能确定一个二元隐函数。
与定理1一样，我们同样可以由三元函数()的性质来断定由方程()=0所确定的二元函数
=
的存在，以及这个函数的性质。这就是下面的定理。
隐函数存在定理2 设函数()在点
的某一邻域内具有连续的偏导数，且
，
，则方程()=0在点
的某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续偏导数的函数
，它满足条件
，并有
=
,
=
.
(4)
这个定理我们不证.与定理1类似，仅就公式(4)作如下推导.
由于
(
, 
)≡0,
将上式两端分别对和
求导，应用复合函数求导法则得
+
=0, +=0。
因为连续，且,所以存在点的一个邻域，在这个邻域内≠0，于是得
=,=。
例2
设
，求
解 设 () =
，则=2, =
.应用公式(4)，得
=
。
再一次对求偏导数，得
二、方程组的情形
下面我们将隐函数存在定理作另一方面的推广。我们不仅增加方程中变量的个数。而且增加方程的个数，例如，考虑方程组
(5)
这时，在四个变量中，一般只能有两个变量独立变化，因此方程组(5)就有可能确定两个二元函数。在这种情形下，我们可以由函数、
的性质来断定由方程组(5)所确定的两个二元函数的存在，以及它们的性质。我们有下面的定理。
隐函数存在定理3 设函数
、
在点
的某一邻域内具有对各个变量的连续偏导数，又
，
,且偏导数所组成的函数行列式(或称雅可比(Jacobi)式):
=
在点不等于零，则方程组
，
在点
的某一邻域内恒能唯一确定一组单值连续且具有连续偏导数的函数
，它满足条件
，并有
(6)
这个定理我们不证.
例3
设
，求,,和.
解 此题可直接利用公式(6)，但也可依照推导公式(6)的方法来求解。下面我们利用后一种方法来做。
将所给方程的两边对求导并移项，得
在
的条件下，
将所给方程的两边对求导，用同样方法在
的条件下可得
小结：
本节在前面已提出隐函数概念的基础上，根据多元复合函数的求导法导出隐函数的求导公式，给出了隐函数存在定理1、2、3，使我们能够计算有一个方程或方程组确定的隐函数的导数。