教学目的:了解多元函数极值的定义,熟练掌握多元函数无条件极值存在的判定方法、求极值方法,并能够解决实际问题。熟练使用拉格朗日乘数法求条件极值。
教学重点:多元函数极值的求法。
教学难点:利用拉格朗日乘数法求条件极值。
教学内容:
一、 多元函数的极值及最大值、最小值
定义 设函数在点的某个邻域内有定义,对于该邻域内异于的点,如果都适合不等式
,
则称函数在点有极大值。如果都适合不等式
,
则称函数在点有极小值.极大值、极小值统称为极值。使函数取得极值的点称为极值点。
例1 函数在点(0,0)处有极小值。因为对于点(0,0)的任一邻域内异于(0,0)的点,函数值都为正,而在点(0,0)处的函数值为零。从几何上看这是显然的,因为点(0,0,0)是开口朝上的椭圆抛物面的顶点。
例2 函数在点(0,0)处有极大值。因为在点(0,0)处函数值为零,而对于点(0,0)的任一邻域内异于(0,0)的点,函数值都为负,点(0,0,0)是位于平面下方的锥面的顶点。
例3 函数在点(0,0)处既不取得极大值也不取得极小值。因为在点(0,0)处的函数值为零,而在点(0,0)的任一邻域内,总有使函数值为正的点,也有使函数值为负的点。
定理1(必要条件) 设函数在点具有偏导数,且在点处有极值,则它在该点的偏导数必然为零:
证 不妨设在点处有极大值。依极大值的定义,在点的某邻域内异于的点都适合不等式
特殊地,在该邻域内取,而的点,也应适合不等式
这表明一元函数在处取得极大值,因此必有
类似地可证
从几何上看,这时如果曲面在点处有切平面,则切平面
成为平行于坐标面的平面。
仿照一元函数,凡是能使同时成立的点称为函数的驻点,从定理1可知,具有偏导数的函数的极值点必定是驻点。但是函数的驻点不一定是极值点,例如,点(0,0)是函数的驻点,但是函数在该点并无极值。
怎样判定一个驻点是否是极值点呢 ?下面的定理回答了这个问题。
定理2(充分条件) 设函数在点的某邻域内连续且有一阶及二阶连续偏导数,又,令
则在处是否取得极值的条件如下:
(1)时具有极值,且当时有极大值,当时有极小值;
(2)时没有极值;
(3)时可能有极值,也可能没有极值,还需另作讨论。
这个定理现在不证。利用定理1、2,我们把具有二阶连续偏导数的函数的极值的求法叙述如下:
第一步 解方程组
求得一切实数解,即可以得到一切驻点。
第二步 对于每一个驻点,求出二阶偏导数的值,和。
第三步 定出的符号,按定理2的结论判定是否是极值、是极大值还是极小值。
例1 求函数的极值。
解 先解方程组
求得驻点为(1,0)、(1,2)、(-3,0)、(-3,2)。
再求出二阶偏导数
在点(1,0) 处,又,所以函数在处有极小值;
在点(1,2) 处,,所以(1,2)不是极值;
在点(-3,0) 处,,所以(-3,0)不是极值;
在点(-3,2) 处,又所以函数在(-3,2)处有极大值(-3,2)=31。
例2 某厂要用铁板作成一个体积为
解 设水箱的长为,宽为,则其高应为,此水箱所用材料的面积
,
即 (,)
可见材料面积是和的二元函数,这就是目标函数,下面求使这函数取得最小值的点。
令 ,
解这方程组,得:
,
从这个例子还可看出,在体积一定的长方体中,以立方体的表面积为最小。
二、条件极值 拉格朗日乘数法
拉格朗日乘数法 要找函数在附加条件下的可能极值点,可以先构成辅助函数
其中为某一常数求其对与的一阶偏导数,并使之为零,然后与方程(2)联立
(1)
由这方程组解出,及,则其中,就是函数在附加条件下的可能极值点的坐标。
这方法还可以推广到自变量多于两个而条件多于一个的情形。例如,要求函数
在附加条件
, (2)
下的极值,可以先构成辅助函数
其中,均为常数,求其一阶偏导数,并使之为零,然后与(2)中的两个方程联立起来求解,这样得出的就是函数在附加条件(2)下的可能极值点的坐标。
至于如何确定所求得的点是否极值点,在实际问题中往往可根据问题本身的性质来判定。
例3 求表面积为而体积为最大的长方体的体积。
解 设长方体的三棱长为, 则问题就是在条件
(3)
下,求函数
的最大值。构成辅助函数
求其对、z的偏导数,并使之为零,得到
(4)
再与(10)联立求解。
因、都不等于零,所以由(11)可得
=, =.
由以上两式解得
将此代入式(10),便得
=
这是唯一可能的极值点。因为由问题本身可知最大值一定存在,所以最大值就在这个可能的极值点处取得。也就是说,表面积为的长方体中,以棱长为的正方体的体积为最大,最大体积。
小结:
本节以一元函数极值为基础,研究多元函数的最大值、最小值与极大值、极小值问题。在介绍多元函数极值的定义后,介绍了二元极值的性质以及利用偏导数求极值的步骤,讨论了二元函数的最值问题和实际问题的最值问题。最后介绍了利用拉格朗日乘数法求条件极值的方法及应用。