第二节 对坐标的曲线积分

教学目的：了解对坐标曲线积分的概念和性质，理解和掌握对坐标曲线积分的计算法和应用

教学重点：对坐标曲线积分的计算

教学难点：对坐标曲线积分的计算

教学内容：

一、对坐标的曲线积分的概念

1．变力沿曲线做功问题.

设一质点在面内从点沿光滑曲线弧移到点，受力，其中，在上连续.求上述过程所作的功

解：（1）分割 先将分成个小弧段

（2）代替 用近似代替 ，

近似代替内各点的力，则沿所 做的功

（3） 求和

（4）取极限 令的长度

1． 定义： 设L为面内从点A到点B的一条有向光滑曲线弧，函数在L 上有界.在L上沿L的方向任意插入一点列 把L分成个有向小弧段

设，点为 上任意取定的点.如果当个小弧段长度的最大值时，的极限总存在，则称此极限为函数在有向曲线弧L上对坐标的曲线积分，记作.类似地，如果的极限值总存在，则称此极限为函数在有向曲线弧L上对坐标曲线积分，记作.即

，

说明：（1）当在上连续时，则，存在

（2）可推广到空间有向曲线上

（3）为有向曲线弧，为与方向相反的曲线，则

=，

=

（4）设=，则=+

此性质可推广到=组成的曲线上.

二、对坐标的曲线积分的计算

定理：设，在上有定义，且连续,

当单调地从变到时，点从的起点沿变到终点，且在以，为端点的闭区间上具有一阶连续导数，且，则存在，且=

注意1）：起点对应参数，：终点对应参数 不一定小于

2）若由 给出

3）此公式可推广到空间曲线：，，

：起点对应参数，：终点对应参数

例1． 计算： ：摆线，从点到点.

解：原式=

=

=

=

例2． ：1）曲线 2）折线 起点为，终点为.

解1）原式==

2） 原式===1

故一般来说，曲线积分当起点、终点固定时，与路径有关

练习：1计算

，其中为（1）的抛物线上从到 一段弧.

（2）抛物线上从到的一段弧.（3）有向折线，这里依次是点，，

结论：起点，终点固定，沿不同路径的积分值相等.

2计算 从点到点的直线段

3． 两类曲线积分的关系

设有向曲线弧的起点 终点 取弧长为曲线弧的参数. 则

若在 上具有一阶连续导数，在上连续，则

=

=

其中，是的切线向量的方向余弦，且切线向量与 的方向一致，

又=

∴=

同理对空间曲线：=

为在点处切向量的方向角，用向量表示：

，为上主单位切向量，

为有向曲线元

小结：1.对坐标的曲线积分概念和性质 2. 对坐标的曲线积分的计算 3.两类曲线积分的关系

作业：P142 4，5