第三节 幂级数

教学目的：了解幂级数的收敛域的构造及求法，如何将函数展开成幂级数，寒暑的幂级数展开式的应用。

教学重点：幂级数收敛域的求法，函数展开成幂级数的充要条件。

教学难点：幂级数收敛半径的求法，函数展开成幂级数的间接方法，近世计算中的误差估计

教学内容：

如果级数的各项都是定义在某区间中的函数，就叫做函数项级数。当自变量取特定值，如时，级数变成一个数项级数。如果这个数项级数收敛，称为函数项级数的收敛点，如发散，称为发散点， 一个函数项级数的收敛点的全体构成它的收敛域。

一、幂级数的收敛域

1. 形如的幂级数

从简单的一个幂级数公比为的等比级数，当时收敛；当时发散出发，因为它的收敛域是以0为中心，半径为1的对称区间，引课到收敛域构造的阿贝尔定理：

若有使收敛，则当时，幂级数绝对收敛；若有使发散，则当时，幂级数发散。

定理 1. (Cauchy-Hadamard) 对冪级数， 总存在非负数， 使其在内绝对收敛， 在内发散.

因此关于收敛半径的求法有如下定理：

已给幂级数，设当充分大以后都有，且，则: ⑴当时，

⑵当时，

⑶当时，

例 1：求下列各幂级数的收敛域

⑴

∵ ∴

当时，级数成为（发散）

当时，级数成为（收敛）

∴收敛域为

⑵

∵级数中只出现的偶次幂，缺项. ∴不能直接用定理来求

可设，由比值法

可知当，即，幂级数绝对收敛

当，即，幂级数发散，故

当时，级数成为，它是发散的，因此该幂级数的收敛域是

幂级数一般形式的讨论，可用变换，使之成为进行。

二、幂级数的运算

设幂级数

a₀+a₁x+a₂x²+…+a_nxⁿ+…

及

b₀+b₁x+b₂x²+…+b_nxⁿ+…

分别在区间（-R,R）及（-R^′,R^′）内收敛,对于这两个幂级数，有下列四则运算：

加减法：

(a₀+a₁x+a₂x²+…+a_nxⁿ+…)±(b₀+b₁x+b₂x²+…+b_nxⁿ+…)

=(a₀± b₀)+(a₁± b₁)x+( a₂±b₂)x²+…+(a_n±b_n) xⁿ+…

乘法：

(a₀+a₁x+a₂x²+…+a_nxⁿ+…)×(b₀+b₁x+b₂x²+…+b_nxⁿ+…)

= a₀ b₀+( a₀ b₁+ a₁ b₀)x+( a₀ b₂+ a₁ b₁+ a₂ b₀) x²+…

+( a₀ b_n +a₁ b_n-1 +…+a_n b₀) xⁿ+…

可以证明上2式在（-R,R）与（-R^′,R^′）中较小的区间内成立.所以有:

定理 设, 的收敛域分别为, 则

(1)

(2)

幂级数的和函数有下列重要性质：

性质1 幂级数的和函数s(x)在其收敛域I上连续.

性质2 幂级数的和函数s(x)在其收敛域I上可积，并有逐项积分公式

逐项积分后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径.

性质3 幂级数的和函数s(x)在其收敛区间(-R,R)内可导，且有逐项求导公式

逐项求导后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径.

例2: 求幂级数的和函数.

解 先求收敛域.由得收敛半径R=1.

在端点x=-1处，幂级数成为，是收敛的交错级数；

在端点x=1处，幂级数成为，是发散的.因此收敛域为I=[-1，1].

设和函数为s(x)，即于是

利用性质3，逐项求导，并由

得

对上式从0到x积分，得

于是，当时，有

而s(0)可由s(0)=a₀=1得出，

故