第二节 可分离变量的微分方程

教学目的：熟练掌握可分离变量的微分方程、齐次微分方程的解法.

教学重点：可分离变量方程与齐次方程的解法.

教学难点：可分离变量方程与齐次方程的解法.

教学内容：

本节开始,我们讨论一阶微分方程

(1)

的一些解法.

一阶微分方程有时也写成如下的对称形式:

(2)

在方程(2)中,变量与对称,它既可以看作是以为自变量、为未知函数的方程

,

也可看作是以为自变量、为未知函数的方程

,

在第一节的例1中，我们遇到一阶微分方程

，

或

把上式两端积分就得到这个方程的通解：

。

但是并不是所有的一阶微分方程都能这样求解。例如，对于一阶微分方程

（3）

就不能像上面那样直接两端用积分的方法求出它的通解。原因是方程（3）的右端含有未知函数积分

求不出来。为我解决这个困难，在方程（3）的两端同时乘以，使方程（3）变为

，

这样，变量与已分离在等式的两端，然后两端积分得

或 （4）

其中C是任意常数。

可以验证，函数（4）确实满足一阶微分方程（3），且含有一个任意常数，所以它是方程（3）的通解。

一般地，如果一个一阶微分方程能写成

（5）

的形式，就是说，能把微分方程写成一端只含的函数和，另一端只含的函数和，那么原方程就称为可分离变量的微分方程。

假定方程（5）中的函数和是连续的，设是方程的解，将它代入（5）中得到恒等式

将上式两端积分，并由引进变量，得

设及依次为和的原函数，于是有

（6）

因此，方程（5）满足关系式（6）。反之，如果是由关系到式（6）所确定的隐函数 ，那么在的条件下，也是方程（5）的解。事实上，由隐函数的求导法可知，当时，

这就表示函数满足方程（5）。所以如果已分离变量的方程（5）中和是连续的，且，那么（5）式两端积分后得到的关系式（6），就用隐式给出了方程（5）的解，（6）式就叫做微分方程（5）的隐式解。又由于关系式（6）中含有任意常数，因此（6）式所确定的隐函数是方程（5）的通解，所以（6）式叫做微分方程（5）的隐式通解。

例1 求微分方程

（7）

的通解。

解 方程（7）是可分离变量的，分离变量后得

两端积分

得

从而 。

又因为仍是任意常数，把它记作C便得到方程（7）的通解

。

例2 放射性元素铀由于不断地有原子放射出微粒子而变成其它元素，铀的含量就不断减少，这种现象叫做衰变。由原子物理学知道，铀的误变速度与当时未衰变的原子的含量M成正比。已知时铀的含量为，求在衰变过程中含量随时间变化的规律。

解 铀的衰变速度就是对时间的导数。由于铀的衰变速度与其含量成正比，得到微分方程如下

（8）

其中是常数，叫做衰变系数。前的负号是指由于当增加时M单调减少，即的缘故。

由题易知，初始条件为

方程（8）是可以分离变量的，分离后得

两端积分

以表示任意常数，因为，得

即

是方程（8）的通解。以初始条件代入上式，解得

故得

由此可见，铀的含量随时间的增加而按指数规律衰落减。