第八节、常系数齐次线性微分方程
教学目的：掌握二阶常系数齐次线性微分方程的特征方程，特征根，及对应于特征根的三种情况，通解的三种不同形式。
教学重点：特征方程，特征根，及对应于特征根的三种情况，通解的三种不同形式。
教学难点：根据特征根的三种不同情况，得到三种不同形式的通解。
教学内容：
一、形式
若
（2）
其中
为常数，称之为二阶常系数齐次微分方程，
若不全为常数(2)称之为二阶变系数齐次微分方程。
二、解法
记：
（3）
将
代入（3）中有
，称
为（3）的特征方程。
设
为（4）的解。
（1）当
即
时，
为其通解。
（2）当
即
时，（3）只有一个解
。
（3）当
即
时，有
是解。
利用欧拉公式可得实解，故通解为
。
求二阶常系数齐次线性微分方程
（2）
的通解的步骤如下：
1． 写出微分方程（2）的特征方程
（3）
2． 求出特征方程（3）的两个根
、
。
3． 根据特征方程（3）的两个根的不同情形，按照下列表格写出微分方程（2）的通解：
|
特征方程 |
微分方程 |
|
两个不相等的实根 两个相等的实根 一对共轭复根 |
|
例1 求微分方程
的通解。
解 所给微分方程的特征方程为
其根
是两个不相等的实根，因此所求通解为
例2 求方程
满足初始条件
，
的特解。
解 所给方程的特征方程为
其根
是两个相等的实根，因此所求微分方程的通解为
将条件代入通解，得
，从而
将上式对
求导，得
再把条件代入上式，得
。于是所求特解为
例3 求微分方程
的通解。
解 所给微分方程的特征方程为
其根
为一对共轭复根，因此所求通解为
例4 在第八节例1中，设物体只受弹性恢复力
的作用，且在初瞬
时的位置为
，初始速度为
。求反映物体运动规律的函数
。
解 由于不计阻力
，即假设
，所以第八节中的方程（1）成为
（4）
方程（4）叫做无阻尼自由振动的微分方程。
反映物体运动规律的函数是满足微分方程（4）及初始条件
的特解。
方程（4）的特征方程为
，其根
是一对共轭复根，所以方程（4）的通解为
。
应用初始条件，定出
。因此，所求的特解为
。
（5）
为了便于说明特解所反映的振动现象，我们令
于是（5）式成为
，
（6）
其中
。
函数（6）的图形如图12-14所示（图中假定
）。
函数（6）所反映的运动就是简谐振动。这个振动的振幅为
，初相为
，周期为
，角频率为
，由于
（见第八节例1），它与初始条件无关，而完全由振动系统（在本例中就是弹簧和物体所组成的系统）本身所确定。因此，又叫做系统的固有频率。固有频率是反映是振动系统特性的一个重要参数。
上面结果可扩展到
阶常系数微分方程。
例 求
。
通解为 
。
小结：本节讲述了二阶常系数齐次线性微分方程的特征方程，特征根，及当
特征根形式不同时，通解具有不同形式。