1.3  连续函数的和、差、积、商的连续性

（白燕  苏变萍）

l      教学目标与要求

通过学习，使学生掌握函数连续性的概念（左连续、右连续）以及连续函数的和、积、商的连续性问题，同时，理解函数的特殊性质。

l      教学重点与难点

教学重点：如何根据定义判断一个给定函数的连续性；利用连续函数的和、积、商的连续性进行计算及判断。

教学难点：函数连续性概念的介绍。

l      教学方法与建议

利用自然界中完事万物的发展、变化的客观规律引出本节课的主旨：研究“连续”的意义。提出函数可以描绘某一变化过程，于是，引出函数的连续性.并强调“研究函数连续性具有重大意义”. 提出问题：一个函数具有连续性，那么它同其他连续函数的某种组合形式是否具有连续性？如果有连续性，那么将简化很多判断过程。如何判断两个函数的和、积、商是否具有连续性？

l      教学过程设计

1. 问题提出与定义

引例：自然界中事物的发展、变化过程是连续的；人类认识过程也是连续的；函数可以描述某一过程. 函数的连续性对于研究函数的性质很重要.

“连续”的含义（例子：当t变化很微小时，状态的变化也很微小――――连续性）

定义1  设函数在点的某一邻域内有定义，若当趋向于零时，对应的

也趋向于零，则称函数y＝f(x)在点x0连续。

定义2  设函数在点的某一邻域内有定义，若函数当时的极限存在，且等于它在点x0处的函数值，即,则称函数在点连续。

定义3  设函数在点的某一邻域内有定义，若对，存在 使得对于适合不等式的一切，所对应的函数值都满足不等式，则称函数在点连续。

2.连续函数的和、积、商的连续性的引入

(1)引子：两个连续函数的和是否是连续函数？

多个连续函数的和是否是连续函数？

定理1：有限个在某点连续的函数的和是一个在该点连续的函数。

注意：“某点”指的是定义区间的“内点”。

证  设 函数和在点连续，记,则

又因为 、在点连续,所以

原式＝

即

综上，得证。

(2)引子：两个连续函数的乘积是否连续？

定理2  有限个在某点连续的函数的乘积是一个在该点连续的函数。

注意：“某点”指的是定义区间的“内点”。

证  设 函数和在点连续，记,

     

又因为 、在点连续，所以，原式＝，即

综上，得证。

定理3  两个在某点连续的函数的商是一个在该点连续的函数。

注意：“某点”指的是定义区间的“内点”，分母在该点不为零。

证  设函数和在点连续，，记

   

又因为 、在点连续，所以

 

综上，得证。

3. 判别连续性举例

例   在连续，所以

 

均在定义域内也连续。