3.1 Lagrange中值定理

（李娟飞 潘智民）

l 教学目标与要求

能在题目中找到Lagrange中值定理的条件,会灵活运用Lagrange中值定理解题。

l 教学重点与难点

教学重点：拉格朗日中值定理的证明思路。

教学难点：证明过程中辅助函数的构造

l 教学方法与建议

由Lagrange中值定理与Rolle定理的联系,自然的想到用Rolle定理来证明Lagrange中值定理.但在Lagrange中值定理中函数不一定满足

这个条件,为此设想构造一个与有着密切联系的函数,把它称为辅助函数，使满足条件.然后对应用Rolle定理,再把对所得的结论转化到上,再看我们能否得到所要的结果。教学关键是通过与Rolle定理作比较引出证明方法,利用几何图形，分析相关条件引出辅助函数。

l 教学过程设计

1. 问题的提出：

首先我们来复习一下前面我们学习的Rolle定理。

Rolle定理告诉我们如果函数在: 1) 上连续; 2) 内可导; 3）; 则至少存在一点使

在几何上可以表示为：（做图同时叙述几何意义） 图一

现在我们考虑一下：如果这条连续曲线弧的弦AB不平行于X轴，也就是在Rolle定理中的条件变为

那么结论将会怎样变化呢？

图二	这里函数仍满足： 1）上连续； 2) 内可导；但, 那么此时=?

由条件可知在图一中曲线在C点处的切线平行于弦A B，那么在图二中我们能否找到一点C，使C点切线斜率

由前面学的导数的几何意义我们知道，即：

，

这就是我们今天要学习的Lagrange 中值定理

Lagrange中值定理 如果函数在闭区间[a,b]上连续，在开区间内可导，那么在内至少有一点使等式

成立.

2. Lagrange中值定理的几何意义

由前面的分析,我们可以这样叙述Lagrange中值定理的几何意义,看图二:“如果连续曲线的弧上除端点外处处具有不垂直于x轴的切线，那么这弧上至少有一点，使曲线在点处的切线平行于弦.

3. 比较Rolle定理与Lagrange中值定理的异同:

两个定理中,函数都满足连续和可导的条件，在Lagrange中值定理中如果那么同样可以得到Rolle定理的结论.从而我们知道其实Rolle定理是Lagrange中值定理的特殊情形.

4. 分析证明

由Lagrange中值定理与Rolle定理的联系,我们自然的想到用Rolle定理来证明Lagrange中值定理.但在Lagrange中值定理中函数不一定满足这个条件,为此我们设想构造一个与有着密切联系的函数,把它称为辅助函数，使满足条件.然后对应用Rolle定理,再把对所得的结论转化到上,再看我们能否得到所要的结果！

下面我们来做一个具体的分析。看图二，既然要与有密切的联系，那么我们就在曲线=上取一点记为M,另外一点记为N,我们自然的想到把它取在弦上（如图三）那么有向线段NM的值就是x的函数，而点M在曲线=上，从而有向线段的值与有密切联系，且当及时，点与点重合，如果把有向线段NM的值的函数记为

即有：

1)=0； 2)直线AB的方程为：则 3) ;

图三

函数与都为上连续内可导的函数，从而，有向线段NM的值的函数

也满足在[a,b]上连续内可导的条件。

下面我们就利用这个辅助函数来证明Lagrange中值定理.

5. 证明过程

证明: 引进辅助函数

容易验证函数满足Rolle定理的条件: ；在上连续内可导,且

，

根据Rolle定理可知在内至少有一点使,即

即.

6. 定理的应用

我们知道，如果函数在某一区间上是一个常数，那么在该区间上的导数为零，它的逆命题也成立。

定理 如果函数在区间I上的导数为零，那么在区间I上是一个常数

7. 举例

设在上连续,在内存在二阶倒数，过点与的直线与曲线交于点,,证明存在，使

证明 直线的方程为

令

则

；

在和上对分别用Rolle定理有

其中，再在[,]上对用Rolle定理有

=0,

而,故