4.1. 有理函数的积分

(马思遥 王平安)

l 教学目标与要求

掌握较简单的有理函数的积分。

l 教学重点与难点

教学重点：真分式的积分

教学难点：待定系数法将有理函数化为真分式；最简分式的积分

l 教学方法与建议

首先用简单举例说明若中有分式，则分解后有个部分分式之和。即

若中有，其中，则分解后有个部分分式之和。即

然后在

中分和，分别讨论，化繁为简。

l 教学过程设计

1．引入有理函数的积分

有理函数又称有理分式函数，即每个有理函数总可以写成两个多项式的商的形式：

其中、非负整数，，是常数，且、，若分子、分母无公因式，，真分式；，假分式，假分式可化为多项式与真分式之和。如果真分式的积分解决了，有理函数的积分也就解决了。

2．举例说明真分式如何积分

通过上例我们可以看出，若在实数范围内分解成一次因式和二次质因式的乘积：

2．真分式的分解

如果

，

其中，为常数， 为正整数，

则真分式

可分解为如下部分分式：

其中为常数（待定）。

说明：

① 若中有分式，则分解后有个部分分式之和。

② 若中有，其中，则分解后有个部分分式之和

待定系数求法

⑴ 通分后比较两端同次幂的系数

⑵ 逐步代入一些特殊的值，求出待定系数。

举一例：

①

② ，恒等式对任意都成立。

令：，；， 代入

令 ，则，

3．总结

对有理分式的积分，归结以下四类分式的积分：

其中为常数，且（即无实根，不能分解），为大于1的整数。下面逐个分析：

其中

.

最后指出，由代数学理论上在实数范围内总可以分解为一次因式及二次质因式的乘积，从而有理函数可分解为多项式及部分分式之和，各个部分都能积出，且原函数是初等函数，因此，有理函数的原函数都是初等函数。