7.3 空间直线及其方程

（权豫西 李琪）

l 教学目标与要求

会求直线的方程，进而加深对数量积和向量积的认识

l 教学重点与难点

教学重点：建立空间直线的方程

教学难点：如何利用向量积的物理意义来建立空间直线的方程

l 教学方法与建议

在建立空间直线的方程中，要利用图形和向量积的方向特点相结合来推导平面的法向量，从而利用点向式方程推出空间直线的两点式方程；充分利用直线方程的特点，对同一个问题尽量采用不同的解法，以开拓学生的解题思路。

教学的关键是让学生知道两向量平行从而对应坐标成比例在直线方程建立中重要作用

l 教学过程设计

1. 空间直线的一般方程

空间直线可以看作是两个平面

：

和

:

的交线，故空间直线上的任何点的坐标应同时满足这两个平面的方程

⑴

反过来，如果点不在直线上，那末它不可能同时在平面和上，所以它的坐标不满足方根⑴，因此，直线可以用方程⑴来表示，方程组⑴叫做空间直线的一般方程。

2．对称式方程与参数方程

如果一个非零向量平行于一条已知直线，这个向量就叫做这条直线的方向向量，直线上任一向量都平行于该直线的方向向量。

过空间一点可以作而且只能做一条直线平行于一已知直线，所以当直线上一点和它的一方向向量为已知时，直线的位置就完全确定了。

设点是直线上的任一点

方向向量为，则由 得对称式方程

和参数方程

例6：用对称式方程和参数方程表示直线

解：令

3．两直线的夹角（指锐角）

两直线的夹角（指锐角）余弦为

若，则

若，则

4．直线与平面的夹角

直线和它在平面上的投影直线的夹角称为直线与平面的夹角，通常规定

例7 已知

和 ，求与的夹角及与的交线与的夹角.

交线的方向向量为

例8 求过点(－3，2，5)且与两平面和的交线平行的直线方程。

解：两平面交线的方向向量

直线的方程：

由 得 ，∴ 交点为

。

解：过点作与已知直线垂直的平面，其方程应为：

所以交点为（2/7，13/7，-3/7）

以点(2，1，3)为起点，点(2/7，13/7，－3/7)为终点的向量

是所求直线的一个方向向量。所以直线的方程：

即

解二

所以的方程为

例11 求直线

在平面上的投影方程。

平面的方程为

即，所以投影方程为

解二 用平面束方程法。设过直线

的平面束方程为即

其中为待定常数，这平面与平面垂直的条件为

即，，投影平面的方程为

即，所以投影直线的方程为