12.2 二阶常系数非齐次线性微分方程

（鲁萍 燕列雅）

l 教学目的与要求

通过学习，使学生掌握

和

的二阶常系数非齐次线性微分方程的求解方法。

l 教学重点与难点

教学重点：两种类型方程的特解的形式及求法。

教学难点：两种类型方程特解的求解思路。

l 教学方法与建议

通过分析，给出两种类型方程的特解的形式，用待定系数法求出特解。

l 教学过程设计

1. 引入

复习二阶常系数非齐次线性微分方程的通解的结构

方程的一般形式

（1）

通解由两部分构成：① 齐次方程的通解

② 非齐次方程本身的特解

复习二阶常系数齐次线性微分方程的解法

2.两种常见形式的微分方程的特解的求法

（a）

方程左端：，而多项式与指数函数乘积的导数仍是同一类型

推测特解：，其中为某多项式

将三者代入（1）式，消去，得：

（2）

1） 不是齐次方程的特征解，则

应为

将代入（2）式，令左右两端同x幂的系数相等，可得m+1个方程组成的方程组，从而解出，得

2） 是齐次方程的特征解的单根，则

，

应为

同理，通过方程组可确定系数,得

3） 是齐次方程的特征解的重根，则

，

应为

同理，通过方程组可确定系数,得

综上所述时

其中为与同次幂的多项式，为作为特征的重数。

例1 求微分方程

的通解。

解 考察方程式左端可知满足格式，其中 ＝0，＝1，

齐次方程 ,特征方程

可知＝0不是特征根, 于是

代入所给方程 可得 ， ,

（b）

利用上面结果及欧拉公式、性质可推得

。

其中均为与次多项式，为作为特征的重数。

例 2 求下列微分方程的特解

.

解 过程略，特解为

。