4.2　相交关系

直线与平面如不平行，则一定相交，且直线与平面只能交于一点。该点是直线和平面的共有点，既在直线上，又在平面内。因此，在求交点的作图过程中，将涉及到平面内的直线与点。

平面与平面若不平行，则一定相交。两平面的交线一定是一条直线，这条直线为两平面所共有。因此，如果能设法求出两平面的两个共有点，或是一个共有点和交线的方向，就可求出两平面的交线。

4.2.1　直线或平面与特殊位置平面相交

特殊位置平面总有一个投影有积聚性，因此当直线或平面与它相交时，就可以从图上直接得出其交点或交线。

1.  直线与特殊位置平面相交

如图4-5所示，直线EF与水平面△ABC相交。e＇f＇与a＇b＇c＇的交点k＇便是交点K的正面投影。根据k＇，可在ef上找出其水平投影k。点K（k,k＇）即为直线EF与水平面△ABC的交点。

（a）                    (b)

图4-5(查看动画)

为了加强图形的明晰性，图中常用粗实线和虚线来区别可见和不可见部分的投影，并利用重影点来判别其可见性。

现在来看图4-5a中的水平投影。显然，ef与△abc相重合的部分才产生可见性的问题。并且点k是可见与不可见部分的分界点。这里只有两种可能：FK在△ABC上方，而KE在下方；或者相反。图中EF和BC是交叉两直线，而ef与bc交于点1(2)，在e＇f＇及b＇c＇上分别求出1＇和2＇,I、II即是位于同一条投射线上的一对重影点。可以看出：位于EF上的点I比BC上的点II的z坐标值要大些。因此，对水平投影而言，FK可见，而KE上被△ABC遮住的部分不可见。

因为正面投影与水平投影的可见性不一定相同，所以在判别了直线的水平投影的可见性之后，还得另行判别正面投影的可见性。

图4-6                                     图4-7

2.　平面与特殊位置平面相交

　　图4-6表示一个正垂面DEFG与一个水平面△ABC相交。可以确定其交线为正垂线，且正面投影积聚为一点，水平投影为mn。图中的虚线表示了不可见部分。　

图4-7表示一般位置平面DEFG与一个水平面△ABC相交。因为△ABC的正面投影有积聚性，所以可直接求出DEFG的两个边DG和EF与△ABC的交点M（m,m＇）和N(n,n＇)，直线MN即为两平面的交线。

图4-8

4.2.2　直线或平面与一般位置平面相交

1.    直线与一般位置平面相交

当直线与平面均处于一般位置时，我们就不能利用积聚性来求交，这就需要利用辅助平面。

(a)              (b)             (c)

(d)              (e)             (f)

图4-9(查看动画)

图4-8b表示直线AB与一般位置平面△DEF相交。如图4－8a所示，为了求出其交点，我们总可以包含AB直线作一垂直面（如铅垂面R）。直线MN就是平面△DEF与辅助平面R的交线。交线MN与已知直线AB的交点K，即为直线AB与平面△DEF的交点。

根据以上分析，我们可以按照如下步骤求出线面交点：

     (1)包含直线AB作一辅助平面（铅垂面R）,如图4－8c所示；

     (2)求出MN(mn,m＇n＇)＝R∩△DEF(图4-8d);

     (3)求点K(k,k＇)＝MN∩AB(图4-8e);

     (4)利用重影点，判别正面及水平投影的可见性(图4－8f)。

     2. 两个一般位置平面相交

（1） 利用“求直线与一般位置平面交点”的方法求两平面的交线。

     图4-9a表示了求两个三角形ABC与DEF交线的方法。

     我们任取△ABC的一边AC和△DEF一边DE，分别求出它们与另一个三角形的交点(这两个交点即两平面的两个共有点),然后连接两点的同面投影就得两平面的交线。

     （2）利用“三面共点原理”求两平面的交线。

(a)                       (b)

图4-10

     如图4-10所示，△ABC与两平行直线DF、EG决定的平面相交。要求它们的交线时，可作一辅助平面P，使它与两平面分别交于直线ⅠⅡ和ⅢⅣ。由于这两直线同在 P面内，所以它们一定相交于一点K,且点K必为△ABC和两平行直线DF、EG决定的平面的共有点。用同样的方法，再作辅助平面Q，可求得另一共有点M。直线MK即为△ABC与DF、EG所决定平面的交线。

     为使作图简便，辅助平面一般都取特殊位置平面(图4-10中取的是水平面),取Q//P也是为了简化作图。

(a)                       (b)

图4-11