如果A是n阶对称矩阵，由定理2还可得如下分解定理：
定理2 若A为n阶对称矩阵，且A的各阶顺序主子式都不为零，则A可惟一分解为：A＝LDLT，其中L为单位下三角阵，D为对角阵。
证明 因为A的各阶顺序主子式都不为零，所以A可惟一分解为：A＝LU
因为
，所以可将 U分解为：
其中 D为对角矩阵，U1为单位上三角阵．于是：A＝LDU1＝L(DU1)
因为A为对称矩阵，所以，A＝AT＝U1TDTLT＝U1T(DLT)，由
A的 LU分解的惟一性即得：L＝U1T，即U1＝LT，故A＝LDLT。
工程技术中的许多实际问题所归结出的线性方程组，其系数矩阵常有对称正定性，对于具有此类特殊性质的系数矩阵，利用矩阵的三角分解法求解是一种较好的有效方法，这就是对称正定矩阵方程组的平方根法及改进的平方根法，这种方法目前在计算机上已被广泛应用。
1 正定矩阵及其性质
定义 设A是n阶实对称矩阵，若对任何非零n维向量X∈Rn，恒有XTAX ＞0，则称A为对称正定矩阵。
由线性代数知，正定矩阵具有如下性质：
1) 正定矩阵A是非奇异的；
2) 正定矩阵A的任一主子矩阵也必为正定矩阵；
3) 正定矩阵A的主对角元素均为正数；
4) 正定矩阵 A的特征值均大于零；
5) 正定矩阵A的行列式必为正数。
定理3 对称矩阵A为正定的充分必要条件是A的各阶顺序主子式大于零。
2 对称正定矩阵的三角分解
定理 (Cholesky分解)设A为n阶对称正定矩阵，则存在惟一的主对角线元素都是正数的下三角阵L，使得：A＝LLT。
分解式A＝LLT称为正定矩阵的Cholesky分解，利用Cholesky分解来求解系数矩阵为对称正定矩阵的方程组AX＝b的方法称为平方根法。
设A为4阶对称正定矩阵，则由定理 4知，A＝LLT，即：
将右端矩阵相乘，并令两端矩阵的元素相等，于是不难算得矩阵L的元素的计算公式为：
，
1，2，3，4，
于是求解线性方程组AX＝b就等价为求解下面两个三角方程组：
(1) LY＝b，求Y；(2) LTX＝Y，求X。
当L的元素求出后，LT的元素也就求出，因此平方根法比一般LU分解的乘除运算量小得多。
例 用平方根法求解
解 首先检验系数矩阵的对称正定性，这可以通过计算其各阶顺序主子式是否大于零来判断。
＝1＞0，
＝ 8－4＞0，
＞0，
所以系数矩阵是对称正定的。记系数矩阵为A，则平方根法可按如下三步进行：
第一步 分解：A＝LLT，由公式可算得L矩阵的各元素：
1，
2，
2，
l，
1，
2，因此：
第二步 求解三角方程组LY＝b，可得：Y＝(0，－l，2)T。
第三步 求解三角方程组LTX＝Y，可求得方程组的解为：X＝(1，－1，1)T。
对于n阶方程有以下公式：
，
1，2，…，n，
从上面的公式可以推出：
，1，2，…，n，
所以有：
，
。
上式说明，在矩阵 A的乔列斯基分解过程中，L的元素
的平方不会超过A的最大对角元素，舍入误差的累计不会有明显增长，从而不用选主元的平方根法是数值稳定的，计算实践也表明了不用选主元已有足够的精度，所以对称正定矩阵的平方根法是目前计算机上解决这类问题的最有效的方法之一。
利用平方根法解对称正定线性方程组时，计算矩阵L的元素
时需要用到开方运算，另外，当我们解决工程问题时，有时得到的是一个系数矩阵为对称但不一定是正定的线性方程组。为了避免开方运算和求解这类方程组，我们可以改用定理2的分解式A＝LDLT去计算，由此可得到改进平方根法。
设A＝LDLT，则L的元素及D的对角元素计算公式为：对
，
，
为计算方便，引入
，则可得到按行计算L，T(T=LD)的公式：
对，
，，
，，
这时求解方程组Ax＝b等价为下面两个三角方程组求解：
Ly＝b，求y，及DLTx＝y，求x。
例 用改进的平方根法求解线性方程组：
解 (1)
对
，有
；(2) 对
，有
，
，
(3)
对
，有
，
，
，
，，
，
，
(4) 对
，有
，
，
，
，
，，
，
，
，
从Ly＝b中求y，得：y＝(2.0000，0.6000，-0.7143，0.8333)T，
从DLTx＝y中求x，得：x＝(1.0002，1.0004，1.0003，1.0002)T