§3

§3.2 简单迭代法

迭代法是一种逐次逼近的方法，其基本思想是利用某种递推算式，使某个预知的近似根（简称初值）逐次精确化，从而得到一个近似根序列，使得该近似根序列的极限就是方程的根。

3.2.1 简单迭代法

对非线性方程f()＝0，用简单迭代法求根的具体做法是：

设函数f()在有根区间上连续，将方程f(x)＝0改写成等价形式：＝，例如，最简单的可取＝。然后取初始值，计算＝，0，1，2，…，可得一序列{}。这种方法称为迭代法（或简单迭代法），称为迭代函数。如果连续，且序列{}收敛到，则有：

即满足方程＝，而方程＝与方程f()＝0等价，所以就是方程f()＝0的一个根。此时称该迭代法收敛；否则称迭代法发散。

迭代法的几何意义可解释为：求方程＝的根，在几何上就是求直线y＝x与曲线y＝交点P*的横坐标，见下图。

对于的某个初始近似值x₀，对应于曲线y＝上一点P₀(x₀，)，过P₀点引平行于x轴的直线，交直线y＝x于点Q₁(x₁，x₁)，过Q₁再作平行于y轴的直线，它与曲线y＝的交点记作P₁(x₁，)；过AP₁再作平行于x轴的直线，又交直线y＝x于点Q₂(x₂，x₂)，…。继续如此做下去，就在曲线y＝上得到点列P₀，P₁，P₂，…，逐渐逼近于曲线y＝与直线y＝x的交点P*，点列的横坐标x₀，x₁，x₂，…，逐渐趋于根。可见，此时迭代格式收敛，如下图中的(A)，(B)，否则迭代格式发散，如下图中的(C)，(D)。

从图中可知，当迭代函数满足不同条件时，迭代过程的收敛情况也有所不同。由此可见，迭代过程的收敛依赖于迭代函数的构造，为使迭代法有效，必须保证它的收敛性，一个产生发散序列的迭代函数是没有任何使用价值的。

设为连续函数，且，则。故是方程的解，称为迭代函数的不动点，故简单迭代法又称为不动点迭代法。

上述这种迭代法，是从一个初始近似值x₀出发计算迭代的，一般也称为单点迭代法，由迭代产生的数列{}称为迭代序列。显然，迭代函数依赖于函数f(x)，用不同的方法构造迭代函数就得到不同的迭代方法。

但是要注意，迭代法的效果并不总是令人满意的，迭代过程可能收敛，也可能发散，就是同一个方程，当取不同迭代格式时也会得到完全不同的效果。

【例3.2.1】用简单迭代法求方程f(x)＝x²＋x－16＝0在区间[3，4]中的根。

解把方程分别改写成下列三种等价的便于迭代的形式：

⑴ ＝16－；⑵ ；⑶

若取相同的初值x₀＝3，分别迭代计算得到的结果列于下表：

k	0	1	2	3	4	5	6	7	8
x₍₁₎	3	7	－33	－1073	－1151313
x₍₂₎	3	4	3.2	3.810	3.326	3.699	3.405	3.632	3.454
x₍₃₎	3	3.571	3.531

已知方程的一个根是3.531。从表中数据的变化趋势看，迭代格式x₍₁₎得到的序列是发散的；迭代格式x₍₂₎得到的序列虽然收敛，但收敛速度很慢；迭代格式x₍₃₎得到的序列不但收敛，而且收敛速度很快。

【例3.2.2】用简单迭代法求方程＝0的根。

解：将方程分解为迭代形式：

图形与交点的横坐标在区间

内，取初值，按迭代公式：计算数据如下：0.5000 0.6065 0.5452 0.5797 0.5601 0.5712 0.5649 0.5684 0.5664 0.5676 0.5669 0.5673 0.5671 0.5672 0.5671 0.5672 0.5671 0.5671

从上述计算可以看出，迭代函数选取的不同，相应的迭代序列的收敛情况也不一样，即使同是收敛的迭代格式，也有一个速度快慢的问题。对于一个发散的迭代过程，纵使进行千百次迭代，其结果也是毫无价值的。迭代法的敛散性关键取决于迭代函数在有根区间内的性态。首先，迭代函数必须使由初始值x₀产生的迭代序列{}，满足{}，(迭代函数的定义域)；其次，从迭代法的几何意义图上看到，函数曲线变化比较缓慢是迭代收敛的良好征兆。图中收敛的情况，其共同特征是曲线走势比较平坦，而发散的共同特征是曲线走势很陡峭。