§4.1 插值的基本概念
我们知道,许多实际问题都可用函数来表示变量间的某种内在规律的数量关系,但是,在工程技术与科学研究中,有时对函数
只能通过实验或观测等手段得到它在某区间
上的有限个不同点
上的函数值
,即只知道一张函数表,却没有明确的函数表达式;有时,虽然函数有明确的解析表达式,但由于形式复杂,不便于计算和使用,通常宁可先在某些点上取值后造一张函数表。为了从给定的函数表进一步研究函数的性质,人们往往希望作出一个既能反映函数的特性,又便于计算的简单函数
去近似代替
,并且还要求
满足条件:
,
,则称这类问题为插值问题,称
为插值函数。
特别以代数多项式作为插值函数的插值问题称为代数插值,这种插值函数叫做代数插值多项式,简称插值多项式。本章中仅分析代数插值,而这方面的研究,无论是对实际应用还是对计算领域本身都是极其重要的。
定义在区间
上连续,且已知它在区间
上
个互异点
,
…,
上的函数值
,若存在一个次数不超过n次的多项式:
,(其中
为实数)
满足条件:,
(
则称为函数
在结点
处的n次代数插值多项式。相应的插值问题称为n次代数插值问题,求插值函数
的方法称为插值法。点
称为插值结点或简称为结点,函数
称为被插值函数,条
件(
被称为插值区间,点
称为插值点。插值点在插值区间内的叫做内插,否则称为外插。
代数插值有明确的几何意义,就是通过平面上给定的个互异点
,
作一条次数不超过n次的代数曲线
=
去近似地表示曲线
。如图所示。
现在的问题是,满足插值条件(是否存在?如果存在,则有多少?回答是肯定的。由插值条件易知,插值多项式
的系数
,
,…,
应满足如下线性方程组:
其系数行列式便是一个n+1阶范德蒙(Vandermonde)行列式D。由线性代数理论知:,因结点互异,故D≠0,方程组有唯一解。于是有:
定理
定理,只要满足同样的插值条件(4.1.1)其结果都是互相恒等的。
【例,并求
时的函数值。
解:通过三点A,B和C的二次插值多项式:
将三点处的值代入,可得方程组:
解得:
则所求的二次插值多项式:
当时,
由插值条件可以看出,用插值多项式近似代替
,除了在插值结点处的函数值没有误差外,在其它点一般都有误差。若记:
,
则称为用插值多项式
近似代替
的截断误差。并称为n次插值多项式
的余项,其值可由下面定理来估计。
定理在区间
上有直到n+1阶的导数,
是
在n+1个结点
处的n次插值多项式,则对任何
有余项公式:
(4.1.2)
其中,
且依赖于x的取值。
插值问题的关键,是怎样具体去求插值多项式。事实上,从存在唯一性定理出发,亦提供了一种构造插值多项式的一种求法,即通过解线性方程组来确定其系数,但这样做当n较大时,不但计算工作量大,而且因不能获得简明实用的表达式给理论研究与应用带来不便,因而利用解方程组的方法去构造插值多项式是不实用的。然而,既然已经证明插值多项式是唯一存在的,那么就可以利用其它行之有效的方法来构造实用的插值多项式。下面分别介绍几种简便而实用的构造代数插值多项式的方法。