§4.3
Newton插值方法
前面构造的拉格朗日插值多项式，其形式具有对称性，既便于记忆，又便于应用与编制程序。并且从前面的讨论中，已经知道可以用增加插值结点的方法来提高插值公式的精度。但是如果使用拉格朗日插值法，由于公式中的插值基函数都依赖于全部插值结点，在增加或减少结点后，所有的插值基函数必须重新构造，插值点的值必须全部重新计算，而增加结点前的计算结果将毫无作用，这样势必造成计算的浪费。而在实际计算中，往往是根据已知数据，计算出插值点的值，当认为误差太大时，再增加插值结点以期在原计算结果上作一修正，而不希望重新计算，克服这个缺点的有效方法之一是把插值多项式构造成如下形式：
这种形式的插值多项式被称为n次牛顿插值多项式，记为：
，即
＝
(
其中系数
可由插值条件：
，(
0，1…，n)
(
确定。为给出系数的简明表达式及其运算法则，先介绍与牛顿插值多项式有关的概念——差商（或称均差）。
4.3.1 差商(均差)及其性质
差商的定义：函数
在两个互异点
处的一阶差商定义为：
＝
一阶差商的差商称为函数在
(
互异)点的二阶差商：
＝
一般的，
阶差商的差商称为函数在
个互异点
上的
阶差商：
＝
特别地，规定零节差商
[
]＝
。差商有如下一些基本性质：
⑴ 差商关于所含的结点是对称的；
例如， 
，同样还有以下等式：
在阶差商
中，任意调换结点
与
的次序，其值不变，即：
＝
。
⑵ 差商可以表示为函数值的线性组合。
差商有多种形式的定义，但实质上是一样的，因为无论从哪种定义出发，都可以用数学归纳法证明
阶差商能表示成函数值
的线性组合，且有以下表达式：
＝
当
时有：
＝
＋
＋
4.3.2 Newton插值多项式
引入差商的概念与记号后，可以用差商来表示牛顿插值多项式中的系数(0，1…，n)。由插值条件
立即可得：
。
再由插值条件
得：
，则：
＝
；
进一步由
可得：
一般地，可以证明：
，(0，1…，n)。故满足插值条件(次牛顿插值多项式为：
＝
(
【例
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1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
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2 |
4 |
6 |
7 |
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4 |
1 |
0 |
1 |
1 |
解：⑴ 构造差商表：
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0 |
1 |
4 |
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1 |
2 |
1 |
－3 |
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2 |
4 |
0 |
－4/3 |
5/6 |
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3 |
6 |
1 |
－3/5 |
3/5 |
－7/60 |
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4 |
7 |
1 |
－1/2 |
1/2 |
－1/9 |
最后一列：
＝1/180
由差商表可以写出3次牛顿插值多项式：
4－3
由差商表可以写出4次牛顿插值多项式：
4－3
4次牛顿插值多项式比3次牛顿插值多项式只多最后一项，但要新计算4个值(上表中的最后一行)。
⑵ 另外构造差商表：
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0 |
1 |
4 |
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1 |
2 |
1 |
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2 |
4 |
0 |
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3 |
6 |
1 |
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4 |
7 |
1 |
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4次插值余项为：
4.3.3 余项及误差估计
由插值多项式的唯一性，当
存在时，次牛顿插值多项式的余项仍为余项公式(
。但在实际计算中，特别是在函数的高阶导数比较复杂或的表达式没有给出时，常用差商表示的余项公式：
(
来估计截断误差。由于式中的阶差商
的值与
有关，故不能准确地计算，只能对它作出一种估计。例如，当阶差商变化不激烈时，可用
近似代替，即取：
比较两个余项公式(
即可导出差商与微商之间的关系式：
(
4.3.4 差分与等距结点的牛顿公式
牛顿插值公式一般常应用于非等距结点的情形，但实际应用时，为了方便起见常采用等距结点，这时若利用差分可以进一步简化牛顿插值公式，导出计算上更为有效的等距结点的牛顿插值公式。
设已知函数在等距结点
处的函数值为
，式中
称为步长。
定义
为函数在结点处步长为h的一阶向前差分。称
为函数在结点处的二阶向前差分。一般地，设n－l阶差分已定义，则称
为函数在结点处的 n阶向前差分。并规定
为函数在结点处的零阶差分。
类似地，还可以定义向后差分和中心差分。(参见施吉林P89)
由差分的定义，也可列出类同于差商表的差分表，并可导出差分与差商的关系。例如k阶差商与k阶向前差分之间有关系：
利用差分与差商的关系式，在牛顿插值公式(
，
，则可得：
(
这个用各阶向前差分表示的插值公式就称为牛顿向前插值公式，其余项可由拉格朗日余项推导得：
。 (