前面构造的拉格朗日插值多项式,其形式具有对称性,既便于记忆,又便于应用与编制程序。并且从前面的讨论中,已经知道可以用增加插值结点的方法来提高插值公式的精度。但是如果使用拉格朗日插值法,由于公式中的插值基函数都依赖于全部插值结点,在增加或减少结点后,所有的插值基函数必须重新构造,插值点的值必须全部重新计算,而增加结点前的计算结果将毫无作用,这样势必造成计算的浪费。而在实际计算中,往往是根据已知数据,计算出插值点的值,当认为误差太大时,再增加插值结点以期在原计算结果上作一修正,而不希望重新计算,克服这个缺点的有效方法之一是把插值多项式构造成如下形式:
这种形式的插值多项式被称为n次牛顿插值多项式,记为:,即
=
(
其中系数可由插值条件:
,(
0,1…,n)
(
确定。为给出系数的简明表达式及其运算法则,先介绍与牛顿插值多项式有关的概念——差商(或称均差)。
差商的定义:函数在两个互异点
处的一阶差商定义为:
=
一阶差商的差商称为函数在
(
互异)点的二阶差商:
=
一般的,阶差商的差商称为函数
在
个互异点
上的
阶差商:
=
特别地,规定零节差商[
]=
。差商有如下一些基本性质:
⑴ 差商关于所含的结点是对称的;
例如, ,同样还有以下等式:
在阶差商
中,任意调换结点
与
的次序,其值不变,即:
=
。
⑵ 差商可以表示为函数值的线性组合。
差商有多种形式的定义,但实质上是一样的,因为无论从哪种定义出发,都可以用数学归纳法证明阶差商能表示成函数值
的线性组合,且有以下表达式:
=
当时有:
=
++
引入差商的概念与记号后,可以用差商来表示牛顿插值多项式中的系数
(
0,1…,n)。由插值条件
立即可得:
。
再由插值条件得:
,则:
=
;
进一步由可得:
一般地,可以证明:,(
0,1…,n)。故满足插值条件(
次牛顿插值多项式为:
=
(
【例
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1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
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2 |
4 |
6 |
7 |
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4 |
1 |
0 |
1 |
1 |
解:⑴ 构造差商表:
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0 |
1 |
4 |
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1 |
2 |
1 |
-3 |
|
|
2 |
4 |
0 |
-4/3 |
5/6 |
|
3 |
6 |
1 |
-3/5 |
3/5 |
-7/60 |
4 |
7 |
1 |
-1/2 |
1/2 |
-1/9 |
最后一列:=1/180
由差商表可以写出3次牛顿插值多项式:
4-3
由差商表可以写出4次牛顿插值多项式:
4-3
4次牛顿插值多项式比3次牛顿插值多项式只多最后一项,但要新计算4个值(上表中的最后一行)。
⑵ 另外构造差商表:
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0 |
1 |
4 |
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1 |
2 |
1 |
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2 |
4 |
0 |
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3 |
6 |
1 |
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4 |
7 |
1 |
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4次插值余项为:
由插值多项式的唯一性,当存在时,
次牛顿插值多项式的余项仍为余项公式(
。但在实际计算中,特别是在函数
的高阶导数比较复杂或
的表达式没有给出时,常用差商表示的余项公式:
(
来估计截断误差。由于式中的阶差商
的值与
有关,故不能准确地计算
,只能对它作出一种估计。例如,当
阶差商变化不激烈时,可用
近似代替
,即取:
比较两个余项公式(
即可导出差商与微商之间的关系式:
(
牛顿插值公式一般常应用于非等距结点的情形,但实际应用时,为了方便起见常采用等距结点,这时若利用差分可以进一步简化牛顿插值公式,导出计算上更为有效的等距结点的牛顿插值公式。
设已知函数在等距结点
处的函数值为
,式中
称为步长。
定义为函数
在结点
处步长为h的一阶向前差分。称
为函数在结点
处的二阶向前差分。一般地,设n-l阶差分已定义,则称
为函数
在结点
处的 n阶向前差分。并规定
为函数
在结点
处的零阶差分。
类似地,还可以定义向后差分和中心差分。(参见施吉林P89)
由差分的定义,也可列出类同于差商表的差分表,并可导出差分与差商的关系。例如k阶差商与k阶向前差分之间有关系:
利用差分与差商的关系式,在牛顿插值公式( ,
,则可得:
(
这个用各阶向前差分表示的插值公式就称为牛顿向前插值公式,其余项可由拉格朗日余项推导得:。 (