§5.6 数值微分

在微积分中，函数的导数是通过极限定义的．当函数用表格给出时，就只能用数值方法求导数的近似值．

5.6.1 应用泰勒公式估计导数

设已知函数f(x)在结点x₀，x₁，x₂…处的值，根据导数的定义：

如果以差商/代替则有：

≈

其中可正可负，取h＝，就有：≈ (5.7.1)

及 ≈ (5.7.2)

公式(5.7.1)和(5.7.2)分别叫做前差公式和后差公式，它们的截断误差都是O(h)，这不难由函数的泰勒公式推得。因为：

所以有：≈－

≈＋

从而可知，前差公式和后差公式的截断误差均为R＝O(h)。

若将和的泰勒展开式多取一项，便有：

＋

－

两式相减，解出可得：≈

＋

舍去余项，就得到一阶导数的中心差分公式：

≈ (5.7.3)

公式(5.7.3)比公式(5.7.1)和公式(5.7.2)更精确，因为公式(5.7.3)的截断误差为：R＝O(h²)。

若将和的泰勒公式再多取一项，然后相加，就可以得到二阶导数的中心差分公式：≈

其截断误差也是：R＝O(h²)。

5.7. 应用插值公式估计导数

例5.7.1 利用下表计算的近似值：

	0.00	0.90	0.99	1.00	1.01	1.10	2.00
	1.000	2.460	2.691	2.718	2.746	3.004	7.389

解 应用中心差分公式(5.7.3)：≈

取不同的步长h＝1，0.1，0.01计算，结果见下表．

h	的近似值	误差
1.0		0.476
0.1		0.002
0.01		0.032

由计算结果可以看出，当h由1.0减小到0.1时，精度大为提高，但继续减小到0.01时，精度却大幅度下降．在这里看到了计算的不稳定性．因此，在作数值微分时，应特别注意步长的合理选取．

上例的结果还表明，在使用插值多项式估计导数时，当插值多项式收敛于时，未必收敛于，所以使用高次插值多项式也不一定能提高精度．为此我们可以采用样条函数来估计导数，以提高计算精度．

回顾导数定义，得

例：用中点公式求在处的一阶导数（取四位有效数字计算）

分别取进行计算。

对于列表函数（只知道若干个点处函数值），考虑用插值函数的微分来作为近似。即先构造插值函数，以的导数近似代替的导数。

，与有关。

时，两点公式：

时，三点公式：

步长的选择应兼顾截断误差和舍入误差两方面。

例：已知，利用两点公式计算的近似值，依次取，。

解：两点公式

截断误差界为

利用三次样条插值多项式求近似导数

练习 5. 1 用复合辛普森公式求积分：的近似值时，为使截断误差R(S_n)≤0.5×10^－4，问需要取多少个结点？

解 复合辛普森公式的截断误差为：R(S_n)＝－

所以：∣R(S_n)∣＝≤≤，

≈2.08441，2n≥4.16882

由于2n为偶数，因此取6，即应有7个结点。也可以用以下公式来做。

∣R(S_n)∣＝∣∣≤≤，

h≤0.1×≈0.23876，n＝2k＝1/h≈4.1883， (h＝(b－a)/n)

区间数k＝3，结点数为2k＋1，即应取7个结点。在实际应用中，一般取区间数k＝4，则应该有9个结点。

(a=x0<x1<x2，x2<x3<x4，x4<x5<x6，x6<x7<x8=b)

注： ＝，h=