6．3．　Runge-Kutta法

构造微分方程的数值解法的一个准则是误差要小。从误差分析的过程中，可能得到更好的方法。

一、Taylor级数法

将上式中的各阶导数用来表出，可以得到计算的各阶方法。

例：Euler方法的误差分析。

例：改进的Euler方法

的误差分析。

二、Runge-Kutta法

分析Euler方法及其改进方法和梯形方法的几何解释，可知关键在于对平均斜率的估计。

，所以

Euler方法简单地取点的斜率值作为平均斜率。

改进的Euler方法可写成

可见改进的Euler公式可以这样理解，它用与两个点的斜率值与取算术平均作为平均斜率，而处的斜率值则通过已知信息来预测。

这个处理过程启示我们，如果设法在内多预测几个点的斜率值，然后将它们加权平均作为平均斜率，则有可能构造出具有更高精度的计算公式。这就是Runge-Kutta方法的基本思想。

1. 二阶Runge-Kutta方法(用两个点的斜率平均作为平均斜率)

取

，

，

，

当然的值需要预测（相当于Euler公式）得格式

将及展开之后，比较与，可知欲使上式有二阶精度，只要成立

解得之后，得二阶Runge-kutta公式，有无数个，包括改进的Euler方法（p=1），另外常见的还有(p=1/2)

不可能达到三阶

2. 三阶Runge-Kutta方法(用三个点的斜率平均作为平均斜率)

取，

，

，

，

，

的值用来预测（相当于Euler公式）

的值用来预测，得格式

将，，展开，比较与，可得上式中各待定系数所满足的关系，

从而可得到三阶精度的Runge-Kutta公式。其中较常见的有(p=1/2,q=1)

(p=1/2,q=3/4)

不可能达到四阶

3. 四阶Runge-Kutta公式(用四个点的斜率平均作为平均斜率)

最常见的(经典)Runge-Kutta公式

取5,6,7个点时，最高只能达到4,5,6阶，取8,9个点时，只能达到6,7阶，取10个以上点时，只能达到8阶。故四阶方法是最常用的。

例：使用三阶、四阶R-K法解下列初值问题，取h=0.1, 求

function y=rk4(myfun,x0,y0,h,x)

%x-x0 should be n times of h

n=round((x-x0)/h);

xi=x0;y(1)=y0;

for i=1:n

k1=feval(myfun,xi,yi);

k2=feval(myfun,xi+h/2,yi+h*k1/2);

k3=feval(myfun,xi+h/2,yi+h*k2/2);

k4=feval(myfun,xi+h,yi+h*k3);

y(i+1)=y(i)+h*(k1+2*k2+2*k3+k4)/6;

xi=xi+h;

end