实验1

实验1.1（病态问题）

实验目的：算法有“优”与“劣”之分，问题也有“好”与“坏”之别。对数值方法的研究而言，所谓坏问题就是问题本身对扰动敏感者，反之属于好问题。通过本实验可获得一个初步体会。

数值分析的大部分研究课题中，如线性代数方程组、矩阵特征值问题、非线性方程及方程组等都存在病态的问题。病态问题要通过研究和构造特殊的算法来解决，当然一般要付出一些代价（如耗用更多的机器时间、占用更多的存储空间等）。

问题提出：考虑一个高次的代数多项式

显然该多项式的全部根为1,2,…,20共计20个，且每个根都是单重的。现考虑该多项式的一个扰动

其中是一个非常小的数。这相当于是对（1.1）中的系数作一个小的扰动。我们希望比较（1.1）和（1.2）根的差别，从而分析方程（1.1）的解对扰动的敏感性。

实验内容：为了实现方便，我们先介绍两个MATLAB函数：“roots”和“poly”。

其中若变量a存储n+1维的向量，则该函数的输出u为一个n维的向量。设a的元素依次为，则输出u的各分量是多项式方程

的全部根；而函数

的输出b是一个n+1维向量，它是以n维向量v的各分量为根的多项式的系数。可见“roots”和“poly”是两个互逆的运算函数。

上述简单的MATLAB程序便得到（1.2）的全部根，程序中的“ess”即是（1.2）中的。

实验要求：

（1）选择充分小的ess，反复进行上述实验，记录结果的变化并分析它们。如果扰动项的系数很小，我们自然感觉（1.1）和（1.2）的解应当相差很小。计算中你有什么出乎意料的发现？表明有些解关于如此的扰动敏感性如何？

（2）将方程（1.2）中的扰动项改成或其它形式，实验中又有怎样的现象出现？

（3）（选作部分）请从理论上分析产生这一问题的根源。注意我们可以将方程（1.2）写成展开的形式，

同时将方程的解x看成是系数的函数，考察方程的某个解关于的扰动是否敏感，与研究它关于的导数的大小有何关系？为什么？你发现了什么现象，哪些根关于的变化更敏感。

思考题一：（上述实验的改进）

在上述实验中我们会发现用roots函数求解多项式方程的精度不高，为此你可以考虑用符号函数solve来提高解的精确度，这需要用到将多项式转换为符号多项式的函数poly2sym,函数的具体使用方法可参考MATLAB的帮助。

思考题二：（二进制产生的误差）

用MATLAB计算。结果居然有误差！因为从十进制数角度分析，这一计算应该是准确的。实验反映了计算机内部的二进制本质。

思考题三：（一个简单公式中产生巨大舍入误差的例子）

可以用下列式子计算自然对数的底数

这个极限表明随着n的增加，计算e值的精度是不确定的。现编程计算与exp(1)值的差。n大到什么程度的时候误差最大？你能解释其中的原因吗？