1．填空题

(1) 用二分法求方程f(x) = 0的近似根，若f(x)在[a, b]上满足且 ，则方程在[a, b]上有且仅有一个实根x^*．

(2) 在二分法的误差分析中，因为，所以要使成立，只需即可．

(3) 使用二分法求非线性方程f (x) = 0在[0, 1]内的根，要使误差小于，至少要二分区间次．

2．用二分法解方程在[1, 2]内的根，要求精确到小数点后第二位，即误差不超过．

3．为用简单迭代法解方程在区间[1, 2]上的根，构造了如下3个迭代函数：

(1) ； (2) ； (3)

若已知x₀ = 1.5与精确根邻近，试分别写出它们的迭代公式，并用局部收敛的近似替代判别方法分析收敛性，再取其中一种收敛的公式求出近似根（要求精确到小数点后2位）．

4．填空题

(1) 对于方程，写出简单迭代法的两个迭代函数及其相应的迭代格式：

迭代函数之一 ，迭代公式

迭代函数之二 ，迭代公式

(2) 简单迭代法的误差分析，有先验估计式

和事后估计式

(3) 要使简单迭代法的精度达到要求，实用中的一个简单易处理的方法，是根据不等式成立与否来判别是否终止迭代．

(4) 对于方程f(x) = 0的一个简单迭代公式，其收敛的一个充分条件是：当时，φ (x)满足，若已知根的初始值x₀在根x^*邻近，则可将局部收敛的判别条件用来替代．

(5) 对于方程f (x) = 0的一个简单迭代公式，若其产生的序列{x_k}收敛很慢，这时可令新的迭代函数为．要想得到收敛速度更快的迭代函数，k的最好取值是使满足．由于方程的解x^*未知，通常取，可得加速迭代公式

(6) 对迭代格式x_k+1 = φ(x_k)，若φ(x_k)满足

，而

那么该格式收敛的阶数是

5．用牛顿迭代法求方程在[1, 2]上的根．

(1) 写出该方程的牛顿迭代公式.

(2) 取初值x₀ =1.5，证明该方程的牛顿迭代公式收敛.

(3) 迭代求出方程的近似根x_k，要求精度：.

6．选择题

如下说法中，不正确的是（ ）

(A) 牛顿迭代法也是一种简单迭代法

(B) 牛顿迭代法也叫牛顿切线法

(C) 当x₀充分接近x^*时，弦截法比牛顿法收敛快

(D) 弦截法的优点是不需要计算导数值

7．填空题

(1) 对于方程f (x) = 0，已知其根x^*介于a，b之间，初值．证明该方程的牛顿迭代公式收敛，需验证成立的条件为

①

②

③

④

(2) 求解方程的牛顿迭代公式为

(3) 用牛顿法计算的值，其迭代公式为

取x₀ = 2，得的各近似值：

， ，

精确到的近似值为

(4) 对于方程

其弦截法迭代公式为

8．用牛顿迭代法求方程在x₀ = 1.5附近的根．

9．用快速弦截法求方程在区间[1, 2]内的根，精确至5位有效数字.

10．用下列方法求在内的根，要求根的误差不超过。

（二）二分法；

（2）的正割法；

（3）的简单迭代法；

（4）的Steffenson迭代；

（5）的Newton迭代法。

11．为求在附近的一个根，现将方程改写成等价形式，且建立相应的迭代公式；

（1）迭代公式；

（2）迭代公式

（3）迭代公式；

试分析每一种迭代的收敛性。

12 设存在常数恒成立。证明，若则对任意，迭代序列收敛到的唯一解。

13．用下列方法，求的根。

（1）Newton法；

（2）

（3）的Steffenson方法；

（4）

。

14．利用压缩不动点定理，证明方程组在内有唯一不动点。

15．利用非线性方程组的Newton法解方程组分别用初始值

观察这个方法收敛于哪一个根，需要的迭代次数以及收敛速度（允许误差为10^-5）。

16．对导数采用逼近

定义迭代

设二次连续可微，证明上述迭代是局部二阶方法。

17.在某化学反应里，已知生成的浓度与时间有关，测得如下数据：

1 2 3 4 5 6 7 8 4.00 6.40 8.00 8.80 9.22 9.50 9.70 9.86

9 10 11 12 13 14 15 16 10.00 10.20 10.32 10.42 10.50 10.55 10.58 10.60

试用非线性最小二乘法,求拟合函数。