第一章 绪论

1．填空题

(1) 如下各数分别作为π的近似值，各有几位有效数字？

3.14 的有效位数是

的有效位数是

的有效位数是

(2) 设近似数x^*有2位有效数字，则其相对误差限等于

(3) 已知近似数x^*的相对误差限为，则x^*的有效位数至少是

(4) 在浮点数系F(2, 8, -7, 8)中共有个数．

(5) 现代科学的三大组成部分有：科学实验、理论研究和 科学计算

(6) 误差的四种主要来源有：模型误差、观测误差、 截断 误差 和 舍入 误差，而数值计算仅讨论 截断 误差 和 舍入 误差．

(7) 构造数值稳定的算法，应坚持以下几个原则：

① 要 防止大数“吃掉”小数

② 要 控制舍入误差的传播和积累

③ 要 避免两个相近的数相减

④ 要 避免绝对值很小的数做分母

⑤ 要 减少运算次数，避免误差积累

2．利用等价变换或舍弃高阶无穷小改变下列表达式，使其计算结果比较精确（其中表示充分大，表示x充分接近0）.

(1) ，

解 原式

(2) ，

解 原式

3．设3个近似数a = 3.65，b = 9.81，c = 1.21均有3位有效数字，试计算ac + b，并估计它的绝对误差限、相对误差限和有效数字的位数.

解 ac + b = 14.2265

由a，b，c有3位有效数字，知其绝对误差da，db，dc均不超过，所以

即绝对误差限为，说明ac + b = 14.2265有3位有效数字，ac + b ≈ 14.2

所以相对误差限约等于0.21%．

4．填空题

(1) 在浮点数系F(10, 5, -10, 10)中计算，可按以下两种顺序进行：

① 依k递增的顺序计算

② 依k递减的顺序计算

其中能获得较准确结果的方法编号为 ②

(2) 用四舍五入原则写出下列各数的具有五位有效数字的近似数：

0.7000400 ≈ 0.70004

0.00063217500 ≈ 0.00063218

3.0000098 ≈ 3.0000

314.3569 ≈ 314.36

(3) 用计算机计算n次多项式的值，采用秦九韶算法要做 n 次乘法运算，而直接计算需要作次乘法运算．

5．下表中左边第一列各数都是由准确值经四舍五入所得的近似数，试分别将它们的绝对误差限、相对误差限和有效数字的位数写入相应的位置：

近似数	绝对误差限	相对误差限	有效数字的位数
31000	0.5	0.000016	5
2.3316	0.00005	0.000021	5
0.5504	0.00005	0.000091	4
0.001230	0.0000005	0.00041	4

6．用秦九韶算法计算当 x = -3时多项式的值.

解 ，，，

，，，，

_{即要求的多项式的值为-20．}

7．在浮点数系中，已知，，，分别计算和，并求各结果与精确结果的绝对误差.

解

与精确值比较，二者的绝对误差分别为

8．设，试求函数的相对误差限.

解 因为，，，

所以的相对误差限为

第二章 非线性方程组的数值解法

2.2 二分法

9．填空题

(1) 用二分法求方程f(x) = 0的近似根，若f(x)在[a, b]上满足 连续、单调 且，则方程在[a, b]上有且仅有一个实根x^*

(2) 在二分法的误差分析中，因为，所以要使成立，只需即可

(3) 使用二分法求非线性方程f (x) = 0在[0, 1]内的根，要使误差小于，至少要二分区间次

10．用二分法解方程在[1, 2]内的根，要求精确到小数点后第二位，即误差不超过．

解 ，由，得k+1≥7，所以迭代7次即可．计算结果如下表：

k	ak	bk	xk	f(xk)的符号
0	1	2	1.5	+
1	1	1.5	1.25	-
2	1.25	1.5	1.375	+
3	1.25	1.375	1.3125	-
4	1.315	1.375	1.34375	-
5	1.34375	1.375	1.359375	-
6	1.359375	1.375	1.367188

所以取方程的近似根为 ．

2.3 简单迭代法

11．为用简单迭代法解方程在区间[1, 2]上的根，构造了如下3个迭代函数：

(1) ； (2) ； (3)

若已知x₀ = 1.5与精确根邻近，试分别写出它们的迭代公式，并用局部收敛的近似替代判别方法分析收敛性，再取其中一种收敛的公式求出近似根（要求精确到小数点后2位）．

解 (1)，因为，此迭代格式收敛；

(2)，因为，所以此迭代格式发散；

(3)，因为，所以此迭代格式发散．

用迭代格式（1）计算得

x₁ = 1.444444444， x₂ = 1.479289941，

x₃ = 1.456976000， x₄ = 1.471080583，

x₅ = 1.462090536， x₆ = 1.467790576，

x₇ = 1.464164381， x₈ = 1.466466355

12．填空题

(1) 对于方程，写出简单迭代法的两个迭代函数及其相应的迭代格式：

迭代函数之一，迭代公式

迭代函数之二，迭代公式

(2) 简单迭代法的误差分析，有先验估计式

和事后估计式

(3) 要使简单迭代法的精度达到要求，实用中的一个简单易处理的方法，是根据不等式成立与否来判别是否终止迭代．

(4) 对于方程f(x) = 0的一个简单迭代公式，其收敛的一个充分条件是：当时，φ (x)满足，若已知根的初始值x₀在根x^*邻近，则可将局部收敛的判别条件用来替代．

(5) 对于方程f (x) = 0的一个简单迭代公式，若其产生的序列{x_k}收敛很慢，这时可令新的迭代函数为，要想得到收敛速度更快的迭代函数，k的最好取值是使满足．由于方程的解x^*未知，通常取，可得加速迭代公式

(6) 对迭代格式x_k+1 = φ(x_k)，若φ(x_k)满足

，而

那么该格式收敛的阶数是

2.4 牛顿迭代法

13．用牛顿迭代法求方程在[1, 2]上的根．

(1) 写出该方程的牛顿迭代公式.

解 ，

_{牛顿迭代公式为}

(2) 取初值x₀ =1.5，证明该方程的牛顿迭代公式收敛.

证明 f (1) = -5，f (2) = 41，f (1) f (2) < 0

当时 ，

，，所以迭代格式收敛．

(3) 迭代求出方程的近似根x_k，要求精度：.

解 将x₀ =1.5代入迭代公式得

x₁ = 1.373333333，x₂ = 1.365262015

x₃ = 1.365230014，x₄ = 1.365230013

由于x₄满足，故近似根取作x₄ = 1.365230013

14．选择题

如下说法中，不正确的是（ C ）

(A) 牛顿迭代法也是一种简单迭代法

(B) 牛顿迭代法也叫牛顿切线法

(C) 当x₀充分接近x^*时，弦截法比牛顿法收敛快

(D) 弦截法的优点是不需要计算导数值

15．填空题

(1) 对于方程f(x) = 0，已知其根x^*介于a，b之间，初值．证明该方程的牛顿迭代公式收敛，需验证成立的条件为

①

②

③

④

(2) 求解方程的牛顿迭代公式为

(3) 用牛顿法计算的值，其迭代公式为

取x₀ = 2，得的各近似值：

， ，

精确到的近似值为 2.236067978

(4) 对于方程

其弦截法迭代公式为

16．用牛顿迭代法求方程在x₀ = 1.5附近的根．

解 迭代格式为

将x₀ =1.5代入迭代公式计算得

x₁ = 1.373626373，x₂ = 1.368814819，x₃ = 1.368808107，x₄ = 1.368808107

2.5 弦截法

17．用快速弦截法求方程在区间[1, 2]内的根，精确至5位有效数字.

解 取x₀ = 1.4，x₁ = 1.6，代人迭代公式

，

代入计算得 f (x₀) =-2.168， f (x₁) = 1.176，x₂ =1.52967；

f (x₂) = 0.0692609， x₃ = 1.51069；

f (x₃) = -0.216464， x₄ = 1.52417；

f (x₄) = -0.0140970， x₅ = 1.52511；

f (x₅) = 0.000117173， x₆ = 1.52510；

所以．

第三章 线性方程组的数值解法

3.2 线性方程组的直接解法

1．选择题

当n阶方阵A满足条件（ A ）时，线性方程组Ax = b有唯一解.

(A) A非奇异 (B) R(A) ≠ 0

(C) R(A) < n (D) 以上都不对

2．填空题

(1) 如果一种算法在计算中舍入误差积累迅速增长，无法控制，造成结果失真，则称这一算法是数值不稳定的，反之是数值稳定的.高斯消去法是 数值不稳定 的算法

(2) 解线性方程组的直接法有消去法与列主元消去法，其中 列主元消去法 有利于控制误差的增长，这是因为它能有效克服“小”主元带来的 “大数吃小数” 现象，从而有效控制误差的增长

(3) 过三点(1, 1)、(2, -1)和(3, 1)的抛物线为 y = 2x² - 8x + 7

(4) 用列主元高斯消去法，对方程组的增广矩阵作初等变换，当进行至

时，下一步所选主元为

3．用高斯消去法求解方程组

.

解 记B = (A, b)，B称为增广矩阵，用对增广矩阵的初等行变换表示消元过程如下

回代得 x₃ =8.4， x₂ =2.6， x₁ =-10.8

4．用列主元消去法求解方程组（计算结果保留到小数点后3位）

.

解

回代得

．

3.3 线性方程组的直接分解法

5．判断题

(1) 当矩阵A的各阶前主子式都不等于零时，可唯一地分解为一个单位下三角阵L和一个上三角阵U的乘积． ( √ )

(2) 若不计舍入误差，LU分解法是求解线性方程组的精确方法． ( √ )

(3) LU分解法中的U就是高斯消去法得到的上三角方程组的系数矩阵． ( √ )

6．用矩阵的LU分解法求解线性方程组Ax = b，其中

，

解 对A做LU分解，先计算U的第一行及L的第一列

u₁₁ = a₁₁ = 9， u₁₂ = a₁₂ = 18， u₁₃ = a₁₃ = 9， u₁₄ = a₁₄ = -27

l₂₁ = a₂₁ / u₁₁ = 2， l₃₁= a₃₁ / u₁₁ = 1， l₄₁= a₄₁ / u₁₁ = -3

然后计算U的第二行及L的第二列

u₂₂ = a₂₂ - l₂₁ u₁₂ = 9， u₂₃ = a₂₃- l₂₁ u₁₃ = -18， u₂₄ = a₂₄- l₂₁ u₁₄ = 9

l₃₂ = (a₃₂ - l₃₁ u₁₂) / u₂₂ = -2， l₄₂ = (a₄₂- l₄₁ u₁₂) / u₂₂ = 1

再计算U的第三行及L的第三列

u₃₃ = a₃₃- l₃₁ u₁₃- l₃₂ u₂₃ = 81， u₃₄ = a₃₄- l₃₁ u₁₄- l₃₂ u₂₄ = 54

l₄₃ = (a₄₃- l₄₁ u₁₃- l₄₂ u₂₃) / u₃₃ =

最后计算u₄₄

u₄₄ = a₄₄- l₄₁ u₁₄- l₄₂ u₂₄- l₄₃ u₃₄ = 9

因此

解方程组Ly = b，得 y = (1, 0, 15, 1)^T

解方程组Ux = y，得

7．用LU紧凑格式分解法求解线性方程组Ax = b，其中

，

解 对增广矩阵进行紧凑格式分解，有

所以 ，，

解方程组Ux = y，得

3.4 特殊线性方程组的解法

8．选择题

(1) 当矩阵A满足条件（ C ）时，解方程组Ax = b的LU分解法就可用改进的平方根法（或称改进的乔累斯基分解法）来求解，从而减少计算量.

(A) A对称正定 (B) A的所有顺序主子式都大于零

(C) 选项(A)、(B)结合 (D) A非奇异

(2) 当方程组Ax = b的系数矩阵为三对角矩阵时，由对A的LU分解公式，可得到求解三对角方程组的（ B ）

(A) 乔累斯基分解法 (B) 追赶法

(C) LDL^T分解法 (D) 以上选项都不对

9．填空题：用改进的平方根法（或改进的乔累斯基分解法）求解线性方程组

对其增广矩阵进行如下的紧凑格式分解：

得到等价的三角形方程组为

， 回代解得

10．用追赶法求解方程组

解 求得 q₁ = 2，q₂ = 3/2，q₃ = 4/3，q₄ = 5/4，q₅ = 6/5；

p₂ = 1/2，p₃ = 2/3，p₄ = 3/4，p₅ = 4/5

解方程组Ly = f，得 y = (1, -1/2, 1/3, -1/4, 6/5)^T

解方程组Ux = y，得 x = (1, -1, 1, -1, 1)^T．

3.5 向量与矩阵的范数

1．填空题

(1) 设x = (1, -1, 2)^T，那么，，

(2) 设矩阵，那么，

(3) 矩阵，则A的条件数

(4) 已知A为n阶对称矩阵，且ρ(A) = 3，那么

(5) 线性方程组的性态是衡量方程组的解对扰动（误差）的敏感程度的，若较小的扰动带来解的较大变化，那么称方程组是病态的，否则称为良态的．一般如果系数矩阵A的条件数cond(A) 远远大于1 时，方程组是病态的.

(6) 对任一n维向量x =(x₁, x₂,…,x_n)^T，不同的范数，其值不同，但总满足下面关系式

2．判断题

(1) 对任何非奇异矩方阵A，都有cond (A) ≥ 1. ( √ )

(2) 对任何非奇异矩方阵A的任一范数，都有ρ(A) ≥ ||A||. ( × )

(3) 若线性方程组的系数矩阵A的各元素间量级差异很大且无一定规律，或者某些行（列）近似线性相关，则方程组可能为病态的． ( √ )

(4) 方程组的性态是其固有性质，任何方法都不可能改变其病态程度． ( × )

3．设矩阵，求||A||_p ( p = 1, 2, ∞)和ρ(A)．

解 因为A为对称矩阵，因此

，

λ₁ = 1，λ₂ = 4，λ₃ = 16，ρ(A^TA) = 16，因此

由于A为对称矩阵，所以

4．证明：对于矩阵A范数，如果，则

证明

移项得

两边同时取范数得

移项得

因为，从而有

5．填空题

(1) 已知线性方程组Ax = b为

① 给右端项b一扰动，取无穷大范数，利用公式

估计解x的相对误差，求得

， ，

从而

② 给系数矩阵A一扰动，取无穷大范数，利用公式

估计解x的相对误差，求得

从而

(2) 希尔伯特（Hilbert）矩阵（又称坡度阵）

是有名的病态阵，当n = 3时，，且随着阶数的增大，条件数迅速增大．

3.6 线性方程组的迭代解法

6．给定线性方程组

(1) 分别写出雅可比和高斯-塞德尔迭代格式，并判断它们的收敛性.

解 雅可比迭代格式为

， ，所以雅可比迭代格式发散．

高斯-塞德尔迭代格式为

，

所以高斯-塞德尔迭代格式收敛．

(2) 取初值x ⁽⁰⁾ = (0, 0, 0)^T，用(2)中收敛的迭代格式求解（保留到小数点后4位）．

解 (2)中赛德尔迭代格式收敛．取初值x⁽⁰⁾=(0, 0, 0)^T，迭代计算得

x⁽¹⁾ = (0.000 0, 3.000 0, -1.000 0)^T，

x⁽²⁾ = (-1.000 0, 5.000 0, -1.500 0)^T，

x⁽³⁾ = (-1.750 0, 6.250 0, -1.750 0)^T，

x⁽⁴⁾ = (-2.250 0, 7.000 0, -1.875 0)^T，

（精确解为x = (-3, 8, -2)^T）

7．填空题

(1) 将方程组

中方程的顺序由“①-②-③”调整为 ③-①-② 能使雅可比和高斯-塞德尔迭代收敛．

(2) 用高斯-塞德尔迭代法求解线性方程组

那么迭代格式 收敛 ．（填“收敛”或“不收敛”）

(3) 解线性方程组的高斯-赛德尔迭代格式为

8．判断题

(1) 对线性方程组Ax = b构造的雅可比、高斯-塞德尔和超松弛迭代格式的收敛性仅与方程组的系数矩阵A有关，而与迭代初值x ⁽⁰⁾无关． ( √ )

(2) 高斯-塞德尔迭代格式一定比雅可比迭代格式收敛速度快． ( × )

(3) 若方阵A严格对角占优，则A非奇异． ( √ )

(4) 对收敛的迭代格式，在迭代计算的过程中，不怕中途出错． ( √ )

9．对方程组

用超松弛迭代（取ω = 1.1）求解，取初值x⁽⁰⁾ = (0, 0, 0)^T，并精确到小数点后3位.

解 ω = 1.1时迭代格式为

初值x⁽⁰⁾ = (0, 0, 0)^T，迭代计算得

x⁽¹⁾ = (0.550 0, 3.135 0, -1.025 7)^T

x⁽²⁾ = (2.219 3, 3.057 4, -1.965 8)^T

x⁽⁷⁾ = (2.000 0, 3.000 0, -1.000 0)^T

第四章 插值与拟合

4.2 拉格朗日插值

1．填空题

(1) 过点(0, 2)、(1, 1)、(2, 2)的不超过2次的多项式为

(2) 设x_i (i = 0, 1, 2, …, n)为n+1个互异的插值节点，l_i (x)为相应的Lagrange插值基函数，则

(3) 设x_i = i (i = 0, 1, 2, …, n)为n+1个互异的插值节点，l_i(x)是相应的n次Lagrange插值基函数，则

(4) 设l_i(x)是对n+1个点x_i (i = 0, 1, 2, …, n)进行Lagrange插值的基函数，则

(5) 如果记R(x)为过两点(x₀, y₀)、(x₁, y₁)的插值多项式P₁(x)的余项，则R(x)的误差限为

(6) 多项式

和

都能插值下表

xi	1	2	3	4
yi	2	1	6	47

这是否违背插值多项式的唯一性？ 否 （填“是”或“否”）

2．给定数据表

x	0	2	3	5
f (x)	1	-3	-4	2

用拉格朗日插值方法求出f (x)的不超过3次的插值多项式L₃(x)．

解 先构造基函数如下

所以拉格朗日插值多项式为

3．将下面计算过程补充完整

给定函数sinx的数值表如下

x	0.32	0.34	0.36
sinx	0.314567	0.333487	0.352274

用线性插值和抛物线插值计算sin0.3367的值，并利用插值余项给出计算结果的误差限．取

x₀ = 0.32，y₀ = 0.314567； x₁ = 0.34，y₁ = 0.333487； x₂ = 0.36，y₂ = 0.352274

(1) 线性插值：由于0.32<0.336 7<0.34，在区间[x₀, x₁]上进行插值，求得

，

从而

由于，因而

(ξ∈[0.32, 0.34] )

(2) 抛物线插值：求得 393.20875(x-0.34)(x-0.36)

-833.7175(x-0.32)(x-0.36) ， 440.3425(x-0.32)(x-0.34)

从而

由于，因而

(ξ∈[0.32, 0.36] )

4．已知多项式通过下列点：

x	-2	-1	0	1	2	3
p(x)	31	5	1	1	11	61

试构造一多项式q(x)且通过下列各点：

x	-2	-1	0	1	2	3
q(x)	31	5	1	1	11	1

解 设r(x) = p(x) - q(x)，则r(x)满足

x	-2	-1	0	1	2	3
r(x)	0	0	0	0	0	60

由拉格朗日插值方法知

于是

4.3 差商与牛顿插值

5．填空题

(1) 设f (x) = a_n x ⁿ +1(a_n ≠ 0)，则

(2) 设f (x) = x²+2x，则，

(3) 对函数表

x	-1	0	1	2
f (x)	1	-2	5	10

求得其各阶差商如下表

x	f (x)	一阶差商	二阶差商	三阶差商
-1 0 1 2 ( 3 )	1 -2 5 10 ( 25 )	-3 7 5 ( 15 )	5 -1 ( 5 )	-2 ( 2 )	( 1 )

那么过这四个点的牛顿插值多项式为

对新增节点x = 3，f (x) = 25，请完成上面的差商计算表；并写出过这五个节点的牛顿插值多项式

6．判断题

(1) 交换差商f [x₀, x₁,…, x_k]中的任意两个节点，差商的值改变符号． ( × )

(2) 若在原有数据上增加一组数据，则使用牛顿插值的插值多项式只增加一项，不必重复计算所有系数． ( √ )

(3) 对同一个插值问题，其牛顿插值多项式与拉格朗日多项式相同，且两种余项也相同. ( √ )

7．给定数据表

x	0	2	3	5
f (x)	1	-3	-4	2

(1) 求出f (x)的不超过3次的插值多项式.

解 计算均差表如下

x	f(x)	一阶均差	二阶均差	三阶均差	四阶均差
0	1
2	-3	-2
3	-4	-1	1/3
5	2	3	4/3	1/5
4	-1	3	0	-2/3	-13/60

所以牛顿插值多项式为

(2) 若增加一组数据 (4, -1)，求f (x)的不超过4次的插值多项式，并求f (1.5)的近似值．

解 若增加一组数(4, -1)，则在上述均差表增加一行一列（见上表双下划线）．

．

f (1.5)≈N₄(1.5) = -1.718861．

8．完成下面计算过程

已知单调连续函数y = f (x)的如下数值表

x	0	0.2	0.4	0.6	0.8
f (x)	0.1995	0.3965	0.5881	0.7721	0.9461

用反插值插值方法求方程f (x) = 0.4500在(0.00, 1.80)内的根的近似值．

将y作为自变量，采用牛顿插值，完成下面均差表

f(xi)	xi	一阶均差	二阶均差	三阶均差	四阶均差
0.199 5 0.396 5 0.588 1 0.772 1 0.946 1	0 0.2 0.4 0.6 0.8	( 0.015228 ) ( 1.043841 ) ( 1.086957 ) ( 1.149425 )	( 0.073631 ) ( 0.114792 ) ( 0.174492 )	( 0.071884 ) ( 0.108624 )	( 0.049209 )

从而得到4次插值多项式为

1.015228 ×(y - 0.1995)+ 0.073631 ×(y - 0.1995)(y - 0.3965)

+ 0.071884 ×(y - 0.1995)(y - 0.3965)(y - 0.5881)

+ 0.049209 ×(y - 0.1995)(y - 0.3965)(y - 0.5881 )(y - 0.7721)

于是方程f (x) = 0.4500的根为

4.5 分段低次插值

9．对函数在区间[1, 2]上作等距分段线性插值，怎样选择步长h，才能使插值误差小于？

解 ，

由得

第五章 数值积分与数值微分

5.2 牛顿-柯特斯求积公式

1．填空题

(1) 牛顿-柯特斯公式的系数和

(2) 在牛顿-柯特斯求积公式

中，当系数有负值时，公式的稳定性不能保证，所以实际应用中，当时，牛顿-柯特斯公式不使用．

(3) 计算积分，取4位有效数字，用梯形公式求得的近似值为

用辛普森公式求得的近似值为

2．判断题

(1) 牛顿-柯特斯求积公式的系数和将随着点数的增加而增大． ( × )

(2) 牛顿-柯特斯公式计算时，节点取得越多，则精度越高． ( × )

(3) 用辛普森求积公式，其误差为

( √ )

(4) 用梯形求积公式，其误差为

( √ )

3．试用n = 1，2，3的牛顿-柯特斯公式计算积分．

解 当n = 1时，，从而有

当n = 2时，，，从而有

当n =3时，，，从而有

5.3 复合求积公式

4．填空题

(1) 用变步长梯形求积法的计算过程中，要判断计算结果的精度是否满足，由得出的近似判别条件是

(2) 变步长梯形求积公式中，设n等分时的步长为h，这时的积分值为T_n，步长减半后的积分值为T_2n，那么T_n和T_2n之间的关系式为

5．选择题

(1) 当在区间[a, b]上具六阶连续导数，充分小时，分别用复合梯型求积公式T_n、复合辛普森求积公式S_n和复合柯特斯求积公式C_n，计算定积分，其精确度从高到低，依次是（ A ）

(A) T_n，S_n，C_n (B) T_n，C_n，S_n

(C) S_n，T_n，C_n (D) C_n，S_n，T_n

(2) 用复合梯形公式T_n计算定积分，要使误差，n应该不小于（ B ）

(A) 5 (B) 10 (C) 20 (D) 50

(3) 用复合辛普森公式S_n计算定积分，要使误差，应该不小于（ B ）．

(A) 1 (B) 2 (C) 5 (D) 10

(4) 用复合柯特斯公式C_n计算定积分，要使误差，应该不小于（ A ）．

(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 40

6．用n = 4的复合辛普森公式S₄积分．

解

=3.14159250

7．用变步长梯形求积法计算积分，要求精确至3位有效数字．

（提示：先换元化为常义积分后再计算）

解 x = 0为被积函数的瑕点，作变换，积分化为．由复化梯形公式

（这里）

计算可得： T₁=1.5，T₂=1.55，T₄=1.5656，T₈=1.5695

至此，有，所以．

5.4 龙贝格求积方法

8．填空题

(1) 辛普森求积公式经过龙贝格加速得到的牛顿-柯特斯公式．

(2) 龙贝格求积方法需要用到的4个公式分别为

(3) 龙贝格求积方法的三个加速公式分别是根据梯形公式、辛普森公式和柯特斯公式的导出的.

(4) 用龙贝格求积法求的近似值，求得

k = 1时：

k = 2时：，，

k = 3时：，， ，

k = 4时：，，；

9．判断题

(1) 对n = 4的牛顿-柯特斯求积公式作龙贝格加速，所得公式仍属牛顿-柯特斯求积公式序列． ( × )

(2) 龙贝格求积公式是一种要将积分区间等分的求积公式. ( √ )

10．用龙贝格算法计算积分，要求误差不超过（其准确值为π）．

解 ，

，

，

，

，，

由于|R₂－R₁| ≤ 0.00001，已精确到小数点后5位，故可取 ．

5.6 数值微分

11．填空题

(1) 由函数在一些离散点上的来推算出函数在某些点处的导数近似值，这类问题称为数值微分.

(2) 中心差分公式

的截断误差为

(3) 二阶导数的中心差分公式为

其截断误差为

(4) 已知,取步长h = 0.01，

由向前差商公式得

由向后差商公式得

由中心差商公式得

12．判断题

(1) 当插值多项式收敛于时，不能保证一定收敛于． ( √ )

(2) 用差商公式近似计算函数的导数值，步长越小，则误差越小． ( × )

(3) 用两点公式求得的一阶导数在x₀、x₁处的值完全相同，误差也完全相同. ( × )

13．已知以下数据

x	0.01	0.02	0.03	0.04
f (x)	0.0121	0.0124	0.0129	0.0139

若取h = 0.01，用中心差分公式计算函数在0.02，0.03处的一阶导数及在0.02处的二阶导数．

解 由中心差分公式，有

第六章 常微分方程的数值解法

6.2 欧拉法和改进的欧拉法

1．填空题

(1) 对初值问题

若函数f ( x, y )满足条件，则解y = y ( x )存在且唯一．

(2) 在区间[0, 1]上用欧拉方法求解初值问题

取步长h = 0.1，其差分格式为

(3) 初值问题的梯形公式

是阶方法，是式的方法．（填“显式”或“隐式”）

(4) 对于微分方程初值问题

的差分方法，如果当h→0时，其整体阶段误差e_i →0时，则该方法是 收敛 的，欧拉方法是 收敛 的方法．（填“收敛”或“不收敛”）

(5) 改进的欧拉方法的整体截断误差为O(h²)，局部截断误差为

2．用欧拉公式计算初值问题

的解函数y = y (x)在x = 0.1，0.2，0.3处的近似值（保留4位小数）．

解 由显式欧拉公式有

计算可得

3．完成下面计算过程

用改进的欧拉公式求初值问题

的数值解（保留6位小数）．

取h = 0.1，由于改进的欧拉公式为

因此该问题的计算格式为

计算结果填入下表

n	xn	yn	yp	yc
0	0	0	0	0.1
1	0.1	0.05	0.145	0.221
2	0.2	0.183	0.346 4	0.379 08
3	0.3	0.362 742	0.553 918	0.541 173
4	0.4	0.547 545	0.728 527	0.683 282
5	0.5	0.705 904	0.852 952	0.794 133

4．试导出求解初值问题

的隐式欧拉格式

并估计其局部截断误差．

解 对两端同时积分，有

并对右端用右矩形方法近似计算，得

代入上式，并用y_i+1，y_i代替y ( x_i+1 )，y ( x_i )，即得隐式欧拉格式

再求它的局部截断误差．在y_i = y ( x_i )的条件下，有

而按泰勒公式，有

因此

所以该格式为一阶方法．

6.3 龙格-库塔方法

5．选择题

(1) 求解常微分初值问题的中点格式

的局部截断误差为（ C ）

(A) O(h) (B) O(h²)

(C) O(h ³) (D) O(h⁴)

(2) 求解常微分方程初值问题的数值公式

是（ B ）

(A) 单步二阶法 (B) 多步二阶法

(C) 单步一阶法 (D) 多步一阶法

(3) 经典的四阶龙格-库塔（Runge-Kutta）方法的局部截断误差为（ D ）

(A) O(h²) (B) O(h³)

(C) O(h⁴) (D) O(h⁵)

6．填空题

(1) 龙格-库塔方法的基本思想是：通过对不同点上f (x, y)的函数值的 线性组合 来构造近似公式的，若有m个点，则其局部截断误差为

(2) 用四阶经典龙格-库塔方法求解初值问题

时，取h = 0.1，得y(1)的近似值为0.42671，而取h = 0.05，得y(1)的近似值为0.43382，若不考虑舍入误差，则y(1)的更好的近似值是

7．取步长h = 0.4，写出用经典四阶龙格-库塔方法求解初值问题

的计算公式．

解 ，

8．填空题

(1) 用经典的3阶龙格-库塔方法解初值问题

取步长h = 0.2，则，

(2) 用3阶库塔格式

求解初值问题

取步长h = 0.1，该方程的库塔计算格式为

取5位小数，计算y (0.1)的近似值，将初值代入得

，，

因此

9．取h = 0.4，用经典四阶龙格-库塔方法求初值问题

的数值解，并与准确解进行比较．

解 ，取h = 0.4，x₀ = 0，x₁ = 0.4，x₂ = 0.8，x₃ = 1.2，则有

计算结果如下：

xi	yi	K1	K2	K3	K4	y(xi)	|y(xi)-yi|
0	1	0	0.133333	0.126497	0.241599	1	0
0.4	1.050751	0.241519	0.3311616	0.320604	0.383687	1.050718	3.34×10^-^5
0.8	1.179332	0.383466	0.422583	0.417368	0.4413687	1.179274	5.83×10^-^5
1.2	1.346316					1.346263	5.29×10^-^5