2000-2001学年 参考答案
1．（10分）
解：
（1分）
（2分）
（2分）
（2分）回代解得
，
，
（1分）
2．（10分）解：牛顿迭代公式为：
（1分）；三种变形分别为：简单牛顿法
（1分）牛顿下山法
（1分）
割线法
（1分）
利用牛顿迭代法求解：
代入
（1分），
（1分）
（1分），
（1分）
∴
（2分）
3．（22分）解：
（1分）
（2分）
（2分）
（2分）
（2分）
（1分）
（1分）
（2分）
（1分）
4．（10分）解：
（2分）
1）取h=0.01时，
（4分）
2）取h=0.02时，
（4分）
5．（20分）解：其Jacobi迭代格式为：
（5分）
（2分） 
＜1 （2分） ∴收敛 （1分）
解：其Seidle迭代格式为： （5分）
取
T；
，
，
）（3分）
∴||
－
||=
（2分）
6．（15分）解：
（2分）
，
，
，
，
，
，
，
，
（9个每个1分）
（4分）
7．（15分）解：改进的欧拉公式：
（3分）
∴
（2分）
∴x0=0， y0=0，yp=0.2 （2分）
x1=0.2，y1=0.26，yp=0.604 （3分）
x2=0.4，y2=0.5928，yp=1.10991 （3分）
x3=0.6，y3=1.23344 （2分）
2001～2002学年 参考答案
1.（10分）解：1）Cond∞(A)=
1分
∴
2分
1分 ∴ 1分
∴Cond∞(A)=17×17=289 2分
2).
3分
2．（14分）解：seidel迭代格式
5分
，
（3分），
（3分）
∴
=0.4485 3分
3．(4分)解：构造一种迭代格式
3分 取
1分 
1分 
1分
1分 
1分 
1分
1分 
1分 
1分 
1分 
1分 
1分
∴ 
4．（17分）解：
|
|
|
|
|
|
0 -1 1 |
1（2分） 2 3 |
-1 （2分） 1/2 |
3/2 （2分） |
1分
∴
2分
N2（1.5）=5.125 2分
再增加一对（2，0），补充差值，
1分
1分
2分
2分
5．（10分）解：
3分
1分 
1分
1分
4分
6．（18分）解：改进的Euler公式为
（3分）
1分
3分
3分
3分
3分
∴
2分
7．（15分）解：设
∴
5分
Euler公式 
5分
1分
四对全对再加1分
2002～2003学年 参考答案
1．（10分）解：设
（1分）
（4分）LUX=b
其中设UX=y，则Ly=b
（2分）
∴y=(2,－1,1)T UX=y 
(2分)
∴x=(0,－2,1)T （1分）
2．（10分）解：牛顿迭代法公式
（1分）
，
（1分）
Newton迭代公式：
∴
（3分）
x0=2代入x1=1.870967742（1分）x2=1.855780702（1分）x3=1.855584561（1分）
x≈x3=1.85558（2分）
3．（20分）解：（1）L3(x)=lo(x)yo+l1(x)y1+l2(x)y2+l3(x)y3 （1分）
得出
（2分）
（2分）
（2分）
（2分）
∴
（1分）
（2）
（1分）
（2分） 
（2分）
（2分），
（2分）
∴
（1分）
4．（10分）解：中心差分公式
（2分）
取h=0.3时，
（4分）
取h=0.1时，
（4分）
5．（20分）
（1）解：其Jacobi迭代格式为：
（5分） 
（6分）
＜1 （2分）
∴收敛 （1分）
（2）解：其Seidle迭代格式为：
（5分）
T
T （2分）
T （2分）
T （1分）
6．（15分）
解：
（2分）
（3分）
（3分）
f(0)=1，f(0.1)=0.9090，f(0.2)=.08333，f(0.3)=0.7692，f(0.4)=0.7142，
f(0.5)=0.6667，f(0.6)=0.625 （7分）
7．（15分）解：改进的欧拉公式：
（2分）
初值x0=0，y0=1 
（2分）
x0=0， y0=1，yp=1.1 （3分）
x1=0.1，y1=1.1+0.05[1+1.2]=1+0.11=1.11 yp=1.231 （3分）
x2=0.2，y2=1.24205 yp=1.38625 （3分）
x3=0.3，y3=1.39846525 （2分）
2003～2004学年
考试答案
1．（10分）
解：
（1分）
（1分）
（2分）回代解得
（1分）
2．（10分）解：牛顿迭代法公式
（1分）
（1分）
故Newton迭代公式为 
（3分）
代入初值得 
（1分）
（1分）
（1分）
（1分） 
（1分）。
3．（10分）解：
（1分）
（3分）
（3分）=
（2分） 
（1分）
|
|
|
|
1 |
0
2 2
4
10 2 12
10
（2分）
30
（2分） 42
（2分） |
|
2 |
|
|
3 |
|
|
4 |
（3分）
（1分）
4．（10分）解：中心差分公式 
（1分）
⑴ 取
时，
（3分）
⑵ 取
时，
（3分）
⑶ 取
时，
（3分）
5．（20分）解：其Jacobi迭代格式为：
（4分） 此线性方程组的系数矩阵
严格对角占优 （3分），故Jacobi和Seidle迭代法均收敛（1分）
（或迭代矩阵
（1分） 
（2分） 所以收敛 （1分））
其Seidel迭代格式为：
… （6分）
取
，
（2分） 
（2分）
（2分）
6．（15分）解：
（2分）
（3分） 
（2分）
（2分）
（4分） 
（2分）
7．（15分）解：改进的欧拉公式：
（2分）
初值 
（2分）
（2分）
（3分）
， 
（3分）
（3分）
2005～2006学年 考试答案
一．（10分）解：
(1分)
(1分)
(4分)
(1分) 
(2分)
回代解得
(1分)．
二．（10分）解：牛顿迭代公式为： (3分)．
将f (x)代入得
(１分)，
，
(1分)，
(1分)，
(1分)，
(1分)，
∴．(2分)
三．（20分）解：Seidel迭代格式
(5分)
，
(3分)，
(3分)
∴
=0.4485．(4分)因为系数矩阵严格对角占优，故该格式是收敛的．(5分)
四．（20分）解：(1)
|
|
|
|
|
|
0 -1 1 |
1 2 3 |
-1 1/2 |
3/2 |
(2分)
(2分)
(2分)
(1分)
∴ (1分)
N2(1.5)=5.125． (1分)
(2)再增加一对数据(2，0)，补充差值
，，．(３分)
(１分)
(3) 
(1分)
(４分)
．(1分)
二者都是同一个多项式，只是构造过程不一样．(1分)
五．（10分）解： (2分)
取h = 0.01时， (4分)
取h = 0.02时， (4分)
六．（15分）解：
(2分)
(3分)
(3分)
f(0)=1，f(0.1)=0.9090，f(0.2)=.08333，f(0.3)=0.7692，f(0.4)=0.7142，
f(0.5)=0.6667，f(0.6)=0.625 (7分)
七．（15分）解：设 ∴ (5分)
Euler公式
(5分)
．(5分)
2004～2005学年清考 参考答案
一．（15分）1 2；3 1 0； 4 70； 5 收敛．
2
或
或
或
；
二．(10分)
解：
1分～
2分～
2分
∴
3分 ∴
2分
三．（10分）解：
2分
∵
f(0)=2 (2分) f(1)=0.9092 (2分) f(1/2)=0.8414 (2分)
∴
=
四．（15分）解：
迭代格式 
2分
(2分) 
(2分) 
(2分)
(2分) 
(2分) 
(2分)
∴
(1分)
五．（20分）解：
（4分）
（3分）
（3分）= （2分）
（1分）
|
x |
y
|
|
1 |
0
2 2
4
10
2 12
10
（2分） 30
（2分） 42
（2分） |
|
2 |
|
|
3 |
|
|
4 |
（3分）
（1分）
六．(8分)解：欧拉公式为 
(3分)
改进的欧拉公式为 
(3分)
截断误差为分别为O(h)及O(h2)，改进欧拉法比欧拉法的截断误差提高了一阶． (2分)
七．（10分）解： (2分)
取h = 0.01时， (4分)
取h = 0.02时， (4分)
2006-2007学年 参考答案
1．（10分）
解：
（1分）
（1分）（2分）回代解得（1分）
2．（10分）解：牛顿迭代法公式 （2分）
， （2分）
Newton迭代公式：
∴ （3分）
x0=2代入x1=1.870967742（1分） x2=1.855780702（1分）
（1分）
3．（20分）解：
|
|
|
|
|
|
0 -1 1 |
1（2分） 2 3 |
-1 （2分） 1/2 |
3/2 （2分） |
（2分）
∴ （2分）
N2（1.5）=5.125 （2分）
再增加一对（2，0），补充差值， （2分）
（2分）
（2分）
（2分）
4．（10分）解： （2分）
1）取h=0.01时， （4分）
2）取h=0.02时， （4分）
5．（20分）解：其Jacobi迭代格式为：
（5分）
（2分） 
＜1 （2分） ∴收敛 （1分）
解：其Seidel迭代格式为： （5分）
取T；，，
）（3分）
∴||－||=
（2分）
6．（15分）解： （2分）
（3分） （2分）
（2分）
（4分） 
（2分）
7．（15分）解：改进的欧拉公式：
（4分）
初值 （3分）
（2分）
（3分）
（3分）
2007～2008学年 参考答案
一、单项选择题与填空题（
）
1．近似数
关于真值
有效数字为（ B ）.
(A) 1位 (B) 2位 (C) 3位 (D) 4位
2.用对分法求方程
在区间
上的近似值，使误差不超过
，则至少对分( C ).
(A) 3次 (B) 4次 (C) 5次 (D) 6次
3．已知
.取，用三点公式计算
14.8865
4．近似计算积分
的抛物线求积公式
5．设
则
0 .
二．（12分）用
分解法解方程组
解： 
（6分）
（3分）
（3分）
三．(
)
1．利用牛顿迭代法迭代三次求
的近似值
解：1. 设
，则求
的正根就是求.(2分)由
知在
内方程有根.再由
知，可取
，（2分） 由牛顿法
得
，
.所以
. （3分）
2．给定数据表
|
|
0 |
2 |
3 |
5 |
|
|
1 |
-3 |
-4 |
2 |
用牛顿插值求
的不超过3次的插值多项式.
解：计算均差（6分）
|
x |
f(x) |
一阶均差 |
二阶均差 |
三阶均差 |
|
0 |
1 |
|
|
|
|
2 |
-3 |
-2 |
|
|
|
3 |
-4 |
-1 |
1/3 |
|
|
5 |
2 |
3 |
4/3 |
1/5 |
所以牛顿插值多项式为
．
(1分)
3．若线性方程组 
的系数矩阵带误差，成为方程组
（1）求原方程系数矩阵的条件数
解：（1）
(3分)（2）对系数矩阵的扰动，估计解的相对误差
。
解：（2）
（4分）
四．（15分）对方程组
（1）写出其Jacobi迭代格式，并说明该迭代格式是否收敛。（7分）
（2）写出题中方程组的Seidle迭代格式，取
，迭代求出
。（8分）
解：（1）其Jacobi迭代格式为：
（5分）
因为其系数矩阵严格对角占优，所以收敛（2分）
（2）解：其Seidel迭代格式为：
（5分）
T ，
T
（3分）
五．（17分）对定积分
，用龙贝格数值积分法计算I的近似值
.
|
|
0 |
1/8 |
1/4 |
3/8 |
1/2 |
|
|
1 |
0.9973978 |
0.9896158 |
0.9767267 |
0.9588510 |
|
|
5/8 |
3/4 |
7/8 |
1 |
|
|
|
0.9361556 |
0.9088516 |
0.8771925 |
0.8414709 |
|
(1) 已求得
.用变步长梯形公式的递推式计算
. (8分)
解：（1）
.
(4分)
(4分)
(2) 求
（4分）
解：
(4分)
(3) 求
（5分）
解：
;
(3分)
. （2分）
六．（15分）用改进的Euler公式，求初值问题
在x1=0.1，x2=0.2，x3=0.3三结点处的数值解（即当x0=0，y0=1，h=0.1时，求出y1，y2，y3）
解：改进的欧拉公式： （2分）
初值x0=0，y0=1 
（2分）
x0=0，
y0=1，
（3分）
x1=0.1，y1=1+0.05[1+1.2]=1+0.11=1.11 
（3分）
x2=0.2，y2=1.24205 
x3=0.3，y3=1.39846525 （2分）
2007～2008学年补考 参考答案
一．（8分）解：（1分）（2分）
（2分）（2分）
回代解得 ，， （1分）
二．（10分）解：牛顿迭代格式为：
（1分）；
三种变形形式分别为：简单牛顿法 （1分）
牛顿下山法 
（1分）
割线法
（1分）
利用牛顿迭代法求解，将
代入，得
（1分），
（1分）
（1分），（1分）
所以取
（2分）
三．（22分）解：(1)先求Lagrange插值多项式
（1分）
， （2分）
（2分）
（2分）
（2分）
（1分）
所以
（1分）
(2)再求Newton插值多项式
列均差表如下：
所以 （2分）
（1分）
四．（10分）解：中心差分公式为 （2分）
1）取h=0.01时， 
（4分）
2）取h=0.02时， 
（4分）
五．（20分）解：(1)其Jacobi迭代格式为
（5分）
迭代矩阵为
（2分）
＜1 （2分） 所以Jacobi迭代格式收敛
（1分）
(2)其Seidel迭代格式为： （5分）
将
代入得 
（3分）
所以
（2分）
六．（15分）解：
（2分）
，
，
，
，
，
，
，
，
（9分）
（4分）
七．（15分）解：改进的欧拉公式： （3分）
将
代入得 （2分）
当x0=0，y0=0时， yp=0.2 （2分）
x1=0.2，y1=0.26，（2分） yp=0.604 （1分）
x2=0.4，y2=0.5928，（2分） yp=1.10991 （1分）
x3=0.6，y3=1.23344 （2分）