第二章 第二题答案
答：傅立叶变换
help fourier
FOURIER Fourier integral transform.
F = FOURIER(f) is the Fourier transform of the sym scalar f
with default independent variable x. The default return is
a function of w.
If f = f(w), then FOURIER returns a function of t: F = F(t).
By definition, F(w) = int(f(x)*exp(-i*w*x),x,-inf,inf), where
the integration above proceeds with respect to x (the symbolic
variable in f as determined by FINDSYM).
F = FOURIER(f,v) makes F a function of the sym v instead of
the default w:
FOURIER(f,v) <=> F(v) = int(f(x)*exp(-i*v*x),x,-inf,inf).
FOURIER(f,u,v) makes f a function of u instead of the
default x. The integration is then with respect to u.
FOURIER(f,u,v) <=> F(v) = int(f(u)*exp(-i*v*u),u,-inf,inf).
Examples:
syms t v w x
fourier(1/t) returns i*pi*(Heaviside(-w)-Heaviside(w))
fourier(exp(-x^2),x,t) returns pi^(1/2)*exp(-1/4*t^2)
fourier(exp(-t)*sym('Heaviside(t)'),v) returns 1/(1+i*v)
fourier(diff(sym('F(x)')),x,w) returns i*w*fourier(F(x),x,w)
离散余弦变换
function Jpeg
I=imread('D:\MATLAB7\toolbox\images\imdemos\cameraman.tif');
%该图片在安装matlab的目录中找，原图为灰度图象
I=im2double(I);%图像存储类型转换
T=dctmtx(8);%离散余弦变换矩阵
B=blkproc(I,[8 8],'P1*x*P2',T,T');
%对原图像进行DCT变换
mask=[1 1 1 1 0 0 0 0
1 1 1 0 0 0 0 0
1 1 0 0 0 0 0 0
1 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0];
B2=blkproc(B,[8 8],'P1.*x',mask);
%数据压缩，丢弃右下角高频数据
I2=blkproc(B2,[8 8],'P1*x*P2',T',T);
%进行DCT反变换，得到压缩后的图像
imshow(I)
title('原始图像')
figure;
imshow(I2)
title('压缩后的图像')
小波变换
clear;clc;
%%%%%%%%%%测试图像只能是方形图像，长宽像素一样。
f=imread('Lena.bmp');%%读取图像数据，图像只能保存在m文件所在的路径下
d=size(f);
if length(d)>2
f=rgb2gray((f));%%%%%%%%如果是彩色图像则转化为灰度图
end
T=d(1);
SUB_T=T/2;
% 2.进行二维小波分解
l=wfilters('db10','l'); % db10（消失矩为10)低通分解滤波器冲击响应（长度为20）
L=T-length(l);
l_zeros=[l,zeros(1,L)]; % 矩阵行数与输入图像一致，为2的整数幂
h=wfilters('db10','h'); % db10（消失矩为10)高通分解滤波器冲击响应（长度为20）
h_zeros=[h,zeros(1,L)]; % 矩阵行数与输入图像一致，为2的整数幂
for i=1:T; % 列变换
row(1:SUB_T,i)=dyaddown( ifft( fft(l_zeros).*fft(f(:,i)') ) ).'; % 圆周卷积<->FFT
row(SUB_T+1:T,i)=dyaddown( ifft( fft(h_zeros).*fft(f(:,i)') ) ).'; % 圆周卷积<->FFT
end;
for j=1:T; % 行变换
line(j,1:SUB_T)=dyaddown( ifft( fft(l_zeros).*fft(row(j,:)) ) ); % 圆周卷积<->FFT
line(j,SUB_T+1:T)=dyaddown( ifft( fft(h_zeros).*fft(row(j,:)) ) ); % 圆周卷积<->FFT
end;
decompose_pic=line; % 分解矩阵
% 图像分为四块
lt_pic=decompose_pic(1:SUB_T,1:SUB_T); % 在矩阵左上方为低频分量--fi(x)*fi(y)
rt_pic=decompose_pic(1:SUB_T,SUB_T+1:T); % 矩阵右上为--fi(x)*psi(y)
lb_pic=decompose_pic(SUB_T+1:T,1:SUB_T); % 矩阵左下为--psi(x)*fi(y)
rb_pic=decompose_pic(SUB_T+1:T,SUB_T+1:T); % 右下方为高频分量--psi(x)*psi(y)
% 3.分解结果显示
figure(1);
subplot(2,1,1);
imshow(f,[]); % 原始图像
title('original pic');
subplot(2,1,2);
image(abs(decompose_pic)); % 分解后图像
title('decomposed pic');
figure(2);
% colormap(map);
subplot(2,2,1);
imshow(abs(lt_pic),[]); % 左上方为低频分量--fi(x)*fi(y)
title('\Phi(x)*\Phi(y)');
subplot(2,2,2);
imshow(abs(rt_pic),[]); % 矩阵右上为--fi(x)*psi(y)
title('\Phi(x)*\Psi(y)');
subplot(2,2,3);
imshow(abs(lb_pic),[]); % 矩阵左下为--psi(x)*fi(y)
title('\Psi(x)*\Phi(y)');
subplot(2,2,4);
imshow(abs(rb_pic),[]); % 右下方为高频分量--psi(x)*psi(y)
title('\Psi(x)*\Psi(y)');
% 5.重构源图像及结果显示
% construct_pic=decompose_matrix'*decompose_pic*decompose_matrix;
l_re=l_zeros(end:-1:1); % 重构低通滤波
l_r=circshift(l_re',1)'; % 位置调整
h_re=h_zeros(end:-1:1); % 重构高通滤波
h_r=circshift(h_re',1)'; % 位置调整
top_pic=[lt_pic,rt_pic]; % 图像上半部分
t=0;
for i=1:T; % 行插值低频
if (mod(i,2)==0)
topll(i,:)=top_pic(t,:); % 偶数行保持
else
t=t+1;
topll(i,:)=zeros(1,T); % 奇数行为零
end
end;
for i=1:T; % 列变换
topcl_re(:,i)=ifft( fft(l_r).*fft(topll(:,i)') )'; % 圆周卷积<->FFT
end;
bottom_pic=[lb_pic,rb_pic]; % 图像下半部分
t=0;
for i=1:T; % 行插值高频
if (mod(i,2)==0)
bottomlh(i,:)=bottom_pic(t,:); % 偶数行保持
else
bottomlh(i,:)=zeros(1,T); % 奇数行为零
t=t+1;
end
end