第4章
几何元素间的相对位置
几何元素间的相对位置关系可以分为从属、平行、相交(包括正交)几种情形。在前一章中已研究了点、线、面之间的从属关系，两直线间的平行、相交、交叉关系。本章仅研究直线与平面、平面与平面间的平行、相交关系。
学时划分：本章两讲4学时。第一讲：§4.1～§4.2，第二讲：§4.3～§4.4。（若将§4.1放在第三章讲，第二讲后面可用于讲解习题）
重点—平行关系的判别及应用、相交关系中求交点及交线方法、可见性判别。
难点—求平面与平面的交线、垂直关系及其应用。
4．1 平行关系
4，1．1 直线与平面平行
几何条件：如果一直线与平面上的某一直线平行，则此直线与该平面互相平行。由此可知，直线与平面平行的问题可转化为两直线平行的问题。根据几何条件及两直线平行的投影性质，就能解决其作图问题。
例4—1 已知⊿CEF和直线AB(p67图4—1(a))，判断AB和⊿CEF是否平行。
分析 若能够在⊿CEF上作出与AB平行的直线，则可判定它们相互平行（因为，若直线与平面平行，则必将与平面中一组直线平行，所以肯定能找到其中一条与已知直线平行的直线）。
作图
(1)在⊿CEF上作一辅助线CD。先作出cd∥ab，再作出正面投影c'd'；
(2)观察c'd'与a'b'是否平行。因为c'd'与a'b'不平行，所以CD与AB不平行，因而直线AB与⊿CEF不平行。
例4—2 已知直线AB及点C，过点C作平面平行于AB(P68图4—2(a))。
分析 只要过C作直线CD∥AB，则包含CD所作的任一平面均与AB平行，本题为多解题，求出一解即可。
作图
(1) 过c'作c'd'∥a'b'、过c作cd∥ab（因而CD∥AB）；
(2) 过C作直线CE，则CD与CE所确定的平面即为所求平面(E为空间任意一点)。
4．1．2 平面与平面平行
几何条件：如果一个平面内的相交两直线对应地平行于另一个平面内的相交两直线，则这两个平面互相平行(P68图4—3)。
如左图所示，因AB∥A1B1、BC∥B1C1，所以P∥Q。
根据上述的几何条件和两直线平行的作图方法，就可解决平行两平面的作图问题。
例4—3 判别由⊿ABC和⊿DEF所表示的两平面是否相互平行(P69图4—4(a))。
分析 根据两平面相互平行的条件，如果能在一平面内作出与另一平面内的一对相交直线对应平行的一对相交直线，则表明这两个平面互相平行。
作图
(1)作f'n'∥a'c'，作f'm'∥b'c'；
(2)求FN及FM的水平投影fn和fm。因为f'n'∥a'c'、fn∥ac，而f'm'∥b'c'、fm∥bc，所以FN∥AC、FM∥BC。这说明两平面内有一对相交直线对应平行，故⊿ABC∥⊿DEF。
4．2 相交关系
直线与平面若不平行，则一定相交，且直线与平面只能交于一点。该点是直线和平面的共有点，既在直线上，又在平面内。因此，在求交点的作图过程中，将涉及在平面内取点、取直线的作图。
平面与平面若不平行，则一定相交。两平面的交线一定是一条直线，这条直线为两平面所共有。因此，如果能设法求出两平面的两个共有点，或是一个共有点和交线的方向，就可求出两平面的交线。
4．2．1 直线或平面有积聚性
当直线或平面处于特殊位置时，此时直线或平面的投影有积聚性，因此可利用其积聚性从图上直接求出其交点或交线。
1．平面有积聚性
平面有积聚性，意味着相交的平面是特殊位置平面，如投影面垂直面或投影面平行面。
如P70图4—5所示，直线EF与水平面⊿ABC相交。f'e'与a'b'c'的交点k'便是交点K的正面投影。交点K属于⊿ABC，也属与直线EF。根据这一几何条件，可在ef上找出其水平投影k。点K(k'，k)即为直线EF与水平面⊿ABC的交点。
为了使图形明晰，图中常用粗实线和虚线来区别可见和不可见部分的投影，并利用重影点来判别其可见性。
如P70图4—5所示，正面投影中由于平面⊿ABC的投影积聚为一直线，重合部分只有交点k'，所以没有可见性问题。在水平投影中，直线与平面的投影有部分重合，相重合的部分有可见性问题。并且交点k是可见与不可见部分的分界点。这里只有两种可能：FK在⊿ABC上方，而KE在下方；或者相反。
现在利用重影点判别其可见性。水平投影中与已知直线FE相关的重影点有两处。现取重影点12来判别直线的可见性。
属于直线上的点为Ⅰ、属于平面⊿ABC上的点为Ⅱ。显然Ⅰ、Ⅱ是位于同一条铅垂投射线上的一对重影点。可以看出：位于EF上的点I比位于⊿ABC上的点Ⅱ的z坐标值大。因此，对水平投影而言，FK可见，而KE上被ΔABC遮住的部分不可见。
务必注意：正面投影与水平投影的可见性不一定相同，所以各个投影中的可见性一定要分别进行判别。
P70图4—6表示一个正垂面DEFG与一个水平面ΔABC相交。因为这两个平面均与V面垂直，可以确定其交线为正垂线，故其正面投影积聚为一点，水平投影为mn。图中的虚线表示了不可见部分(分析交线的求法、可见性的判别)。
图4—7表示一般位置平面DEFG与一个水平面⊿ABC相交。因为⊿ABC的正面投影有积聚性，所以可直接求出DEFG的两个边DG和EF与⊿ABC的交点M(m'，m)和N(n'，n)，直线MN即为两平面的交线。
显然，只有水平投影有可见性问题。从正面投影很容易确定：平面DEFG有一部分（MGFN）在⊿ABC的上面，其水平投影可见，可见与不可见部分的分界线就是交线MN。
2．直线有积聚性
当直线为投影面垂直线时，由于它的一个投影有积聚性，因此可利用积聚性确定平面与直线的交点。
P71图4—8表示铅垂线AB与⊿CDE相交，由于AB的水平投影积聚为一点，所以交点的水平投影k与该点重影，借助面内的辅助线CF(c'f'，cf)可求出k'，可见性判别如图所示。
4．2．2 直线或平面与一般位置平面相交
1．一般位置的直线与平面相交
当直线与平面均处于一般位置时，就不能利用积聚性来求交点，这时可利用辅助平面法求解。
P71图4—9(b)表示一般位置直线AB与一般位置平面⊿DEF相交。如图4—9(a)所示，为了求出其交点，可以包含AB直线作一辅助平面(如铅垂面R)。直线MN就是平面⊿DEF与辅助平面R的交线。交线MN与已知直线AB的交点K，即为直线AB与平面⊿DEF的交点。
根据以上分析，用辅助平面法求直线与平面交点的方法步骤如下：
(1) 包含已知直线AB作一辅助平面(辅助面应该为投影面垂直面，如铅垂面R)(图4—9(c))；
(2) 求辅助面与已知平面的交线；
(3) 求所得交线与已知直线的交点；
(4) 利用重影点判别投影可见性。
（举例作图过程，这一方法是求交线的基本方法，要求学生认真掌握）
2．两个一般位置平面相交
两个一般位置平面相交，求交线的方法有两种：一是辅助平面法；二是三面共点法。
(1)利用“求直线与一般位置平面交点”的方法求两平面的交线—辅助平面法。
P72图4—10(a)表示了求两个三角形⊿ABC与⊿DEF交线的方法。
任取⊿ABC的一边AC和⊿DEF的一边DE，分别求出它们与另一个三角形的交点(这两个交点即两平面的两个共有点)，然后连接两点的同面投影就得到两平面的交线(图4—9(b))。求得交线后再分别判别各投影的可见性。为简化作图，应首先排除不直接相交的边线。
（举例画图，讲解、分析作图过程）
(2)利用“三面共点原理”求两平面的交线。
如P73图4—11所示，⊿ABC与两平行直线DF、EG决定的平面相交。为求它们的交线时，可作一辅助平面P，使它与两平面分别交于直线ⅠⅡ和ⅢⅣ。由于这两直线同在P面内，所以它们一定相交于一点K，且点K必为⊿ABC和两平行直线DF、EG决定的平面的共有点—交点。用同样的方法，再作辅助平面Q，可求得另一共有点M。直线MK即为⊿ABC与DF、EG所决定平面的交线。
为使作图简便，辅助平面一般都取特殊位置平面(图4—11中取的是水平面)，并取Q∥P，都是为了简化作图。
4．3 垂直关系
4．3．1 直线与平面垂直
根据初等几何学可知，如果一直线垂直于一平面。则此直线一定垂直于该平面内的所有直线。判定直线与平面垂直的几何条件为：若直线同时垂直于一平面内相交两直线，则该直线与该平面垂直。
如P73图4—12所示，若直线AK垂直于平面P，那么它一定也垂直于该平面内过垂足的水平线CD。因此，依据直角投影定理可知，直线AK的水平投影一定与平面内水平线CD的水平投影垂直（同一平面内的一切水平线—包括水平迹线都互相平行），因此可得下列结论：如果一直线垂直于一平面，则该直线的水平投影一定垂直于该平面内任一条水平线的水平投影。同理，可得结论：如果一直线垂直于一平面，则该直线的正面投影一定垂直于该平面内任何一条正平线的正面投影。
根据上述结论，可以利用直角投影定理在投影图上解决有关直线与平面垂直的作图问题。
例4—4 求点D到⊿ABC的距离(P74图4—13(a))。
分析 点到平面的距离就是点到平面垂线的长。因此首先要过D作⊿ABC的垂线，再求出垂足K，然后利用直角三角形法求出DK的实长。
作图
(1) 在⊿ABC内引一条正平线AF和一条水平线AL(作al∥OX，a'l'∥OX)；
(2) 作DE⊥⊿ABC(作d'e'⊥a'f'，de⊥al)(图4—13(b))；
(3) 求出垂足K＝DE∩⊿ABC(辅助平面法)；
(4) 利用直角三角形法求得DK的实长(图4—13(c))。
例4—5 通过已知点A作一直线，垂直于一般位置直线BC(P74图4—14)。
分析 空间两互相垂直的一般位置直线，其投影并不反映垂直关系。因此，不可能在投影图上直接画出。
如图4—14(a)所示，为解决这一问题，我们设想，过A点且与直线BC垂直的所有直线构成一平面—即过A、且与BC垂直的平面Q。作出了Q，再求出交点K。这种方法称为“轨迹法”。因为AK∈Q，所以AK⊥BC，故AK为所求。
作图
(1) 过A作正平线AD⊥BC、水平线AE⊥BC(作a'd'⊥b'c'，ad∥OX；ae⊥bc，a'e'∥OX)(图4—14(b))；
(2) 求交点K＝BC∩⊿ADE，AK即为所求(图4—14(c))。
4．3．2 平面与平面垂直
几何条件：若一平面中有一直线垂直于另一平面，则两平面互相垂直。推论：如果一直线垂直于一平面，则包含此直线的所有平面都垂直于该平面，如P75图4—15所示。
例4—6 包含点M作平面与⊿ABC垂直(图4—16(a))。
分析 过点M作MF⊥⊿ABC，包含MF的平面即为所求。此题多解。
作图
(1) 在⊿ABC内作一条正平线CD(先作cd∥OX，再作c'd')和—条水平线CE(先作c'e'∥OX，再作ce)；
(2) 作MF⊥CD，且MF⊥CE；
(3) 作MG(G任意)，则GMF为所求。
4．4 综合举例
如果一道题中涉及点、线、面的多个概念，解题中又要用到多种基本作图方法，则此类题就是综合题。所用到的概念、方法越多，题目的综合性就越强。这类题常涉及距离、角度及相对位置等类型，其解题方法常用的有“逆推法”和“轨迹法”。所谓逆推法是先假设已经得出符合题设条件的答案，然后依据有关几何定理，找到答案与初设条件间的几何联系，由此得到解题的方法和步骤。而轨迹法则是依据已知条件和题目要求，分别作出满足各个要求的轨迹，则各个轨迹间的交点或交线即为所求。
例4—7 BC为等腰⊿ABC的底边，高AD＝50，求⊿ABC的水平投影。
分析 等腰三角形的高线过底边的中点、且与底边垂直。然后据此求解。
点D位于底边BC的中点，所以点D的V面投影已知。已知AD=50，AD正面投影也已确定，利用直角三角形法可求出AD的水平投影。
等腰三角形的底边BC与高AD是垂直关系，但由于它们都是一般位置直线，投影不反映直角，故不能直接作出。但BC是过点D(点D位于底边BC的中点)且与AD垂直的平面中的一条直线。若作出了该平面，再利用面内取点线的方法，即可求出BC的水平投影。
这一解法的启示是：为了找到某一直线，可先找到符合其特征的所有直线的集合(平面)，然后再根据相关条件确定这一直线。
作图(1)找b'c'的中点d'；
(2)作直角Δa'd'e'，求得AD的y坐标差d'e'；
(3)根据AD的y坐标差及投影关系求得d；
(4)过D作平面FDE⊥AD；
(5)根据BC属于平面FDE条件求得bc。
例4—8 作一直线MN，使其与交叉二直线AB、CD分别相交于M、N点，与⊿EFG垂直(P77图4-18)。
分析 因为MN⊿EFG，所以MN平行于⊿EFG的垂线GH，MN与AB是一对相交直线，代表一个平面P。过B作⊿EFG垂线的平行线BL，则⊿ABL就是平面P，它必然包含直线MN；由于N∈CD，所以N点是CD与ΔABL的交点。再在平面⊿ABL中确定直线MN使与⊿EFG垂直。
作图
(1)作⊿EFG的垂线GH；
(2)过B作BL∥GH，得⊿ABL；
(3)求N(n，n')＝CD∩⊿ABL；
(4)过N(n，n')作直线MN∥BL(BL∥GH),MN即为所求。
本题也可用轨迹法来求解：先求⊿EFG的垂线GH；过B作BL∥GH得⊿ABL；过D作DJ∥GH得⊿CDJ，则MN＝⊿ABL∩⊿CDJ(即：包含AB作一平面与⊿EFG垂直、再包含CD作平面与⊿EFG垂直，则这两个平面的交线一定与⊿EFG垂直、且与已知直线AB和CD相交)。
本章小结：本章介绍了直线与平面、平面与平面间的相互关系（平行或相交）、以及相交时求交点、交线的方法，并且对相交中垂直关系及其应用作了较为详细分析。本章内容有一定难度，应用较多，应很好掌握。
本章重点是直线与平面交点的求法、平面与平面交线的求法，尤其对具有特殊位置直线、平面情况下交点、交线的求作方法更要熟练。
利用重影点判别可见性、垂直关系以及利用垂直关系求距离等作图问题是难点，应该重点加以学习。
对综合举例中涉及到的解题思路、分析问题的方法要深入理解，做到举一反三、触类旁通。
作业布置
P17,P18(4-5,4-6),P19,P20(4-10(1,2,3)),P21,P22,P23,P24(4-21,4-22,4-23),P25(4-25)
